Kreisfläche mit Sinus annähern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich möchte mir das archimedische Prinzip zur näherungsweisen Bestimmung von π erarbeiten.
Nach Archimedes wird dabei in einn Kreis ein Quadrat gezeichnet, dieses zu einem gleichseitigen 8-eck, dann ein 16-eck usw. erweitert. Die Flächen der geradlinigen Gebilde können ausgerechnet werden, mit steigender Seitenzahl kommt das Ergebnis immer näher an die Kreisfläche heran. Ebenso kann die Fläche von außen näherungsweise bestimmt werden, es findet also eine Eingrenzung der tatsächlichen Kreisfläche und damit auch der Verhältniszahl π statt.
Meine Überlegung dieses Verfahren nachzuahmen war Folgende:
F(Kreis) [mm] \ge \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/2 * r * sin(90/n) * 4 * n)
Meine Idee dabei ist, dass der Sinus = Höhe im Einheitskreis ist. Damit berechne ich in diesem Teil [ 1/2 * r * sin(90/n) ] die Fläche eines einzelnen Dreiecks im Kreis (r := Grundseite, sin() := Höhe).
Da der Sinus im Betrag alle 90° alle Werte von 0 bis 1 abdeckt, sich also nur auf einen Viertelkreis bezieht, habe ich den Faktor 4 für den gesamten Kreis und n für den n-ten Teil des Viertelkreises hinzugefügt.
Gekürzt und bezogen auf einen Einheitskreis schreibe ich dann:
F(1-Kreis) [mm] \ge \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (2 * n * sin(90/n))
So waren meine Gedanken, bei n=1 und einem Kreis mit Radius 1 erhalte ich das Ergebnis 2, was als erste Näherung eines Quadrats im Einheitskreis mir auch richtig scheint. Setze ich n = 100 komme ich auf völlig falsche Ergebnisse.
Kann mir jemand weiterhelfen, Fehler in meinen Überlegungen zeigen, oder kennt jemand eine schöne Quelle wo dieses Verfahren wirklich nach Archimedes beschrieben ist? Ich denke nicht, dass er selber den Sinus angewendet haben mag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 20.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
um sin(x) zu bestimmen braucht man die Bogenlänge 90° entspricht [mm] r*\pi/2
[/mm]
bzw für r=1 [mm] \pi/2
[/mm]
dein TR macht das zwar auch für Grad, aber woher kennst du denn sin von 0.9°
da dein TR das aber kann müßtest du , wenn er auf deg eingestellt ist bei 200*sin(0,9) schon 3.14... rauskriegen. allerdings muss dein TR dazu [mm] \pi [/mm] kennen
da du den sin und cos von 30° oder 45° kennst kannst du auch jeweils den von halben winkeln ausrechnen, ohne [mm] \oi [/mm] zu kennen, aber das immer wieder anwenden
[mm] sin(x/2)=\sqrt{\bruch{1-cosx}{2}}
[/mm]
Und [mm] cos(x/2)=\sqrt{\bruch{1+cosx}{2}}
[/mm]
und [mm] cos^2(x)=1-sin^2(x)
[/mm]
aber das immer wieder anwenden ist praktisch dasselbe, wie diese Bestimmungen mit dem pythagoras zu machen, wie es üblich ist.
also ist deine Idee nicht git, es sei denn dein TR kann ˜pi nicht anzeigen, dann kannst du sin(0.09)*2000 anwenden und hast ne gute Näherung ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß leduart
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