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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Steffi87 |
| Aufgabe | | Wie heißt die Gleichung des Kreises, der durch P(6/7) und Q(-2/1) geht und den Radius r=5 hat? |
Hallo
ich habe diese Aufgabe von meiner Hochschule bekommen zur Selbstkontrolle meiner Vorkenntnisse, da ich im Oktober mit dem Studium beginne. Leider haben wir in der Schule aber keine Kreisfunktionen besprochen und ich habe nirgends gefunden wie man diese Aufgabe lösen kann. Mir ist nur die Lösung aber nicht der Lösungsweg bekannt. Wer kann mir helfen?
Lösung: [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-4)^2 [/mm] = 25
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] \mbox{Hi,}
[/mm]
[mm] \mbox{Die allgemeine Kreisgleichung lautet ja:}
[/mm]
[mm] (x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2
[/mm]
[mm] \mbox{Wobei }$x_{m} $\mbox{ }\mbox{ und }$y_{m} $\mbox{}\mbox{ den Mittelpunkt darstellen, x und y jeweils die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der}
[/mm]
[mm] \mbox{auf dem Kreis liegt, und r logischerweise den Radius. Die Herleitung, also den Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung, kannst}
[/mm]
[mm] \mbox{du erarbeiten, indem du einen Kreis mit einem bestimmen Radius einträgst, und mit der Abstandsformel arbeitest.}
[/mm]
[mm] \mbox{Nun zur Aufgabe:}
[/mm]
[mm] \mbox{Du hast ja die Koord. von zwei Punkten und den Radius, suchst also den Mittelpunkt dieses Kreises.}
[/mm]
[mm] \mbox{Setze nun einmal die Koord. des ersten und den Radius und einmal die Koord. des zweiten und den Radius ein,}
[/mm]
[mm] \mbox{und du erhälst ein Gleichungssystem.}
[/mm]
[mm] k:(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2
[/mm]
$P [mm] \in G_{k} \Rightarrow (6-x_{m})^2+(7-y_{m})^2=5^2 \gdw 36-12x_{m}+x_{m}^2+49-14y_{m}+y_{m}^2=25 \gdw x_{m}^2+y_{m}^2=-60+12x_{m}+14y_{m}$
[/mm]
[mm] \wedge [/mm] $Q [mm] \in G_{k} \Rightarrow (-2-x_{m})^2+(1-y_{m})^2=5^2 \gdw 4+4x_{m}+x_{m}^2+1-2y_{m}+y_{m}^2=25 \gdw x_{m}^2+y_{m}^2=20-4x_{m}+2y_{m}$ \mbox{(§§)}
[/mm]
[mm] \mbox{Gleichsetzen:}
[/mm]
[mm] 20-4x_{m}+2y_{m}=-60+12x_{m}+14y_{m} \gdw 80-16x_{m}=12y_{m} \gdw 6\bruch{2}{3}-1\bruch{1}{3}x_{m}=y_{m}
[/mm]
[mm] \mbox{Einsetzen in §§:}
[/mm]
[mm] x_{m}^2+(6\bruch{2}{3}-1\bruch{1}{3}x_{m})^2=20-4x_{m}+2(6\bruch{2}{3}-1\bruch{1}{3}x_{m}) \gdw x_{m}^2+44\bruch{4}{9}-17\bruch{7}{9}x_{m}+1\bruch{7}{9}x_{m}^2=20-4x_{m}+13\bruch{1}{3}-2\bruch{2}{3}x_{m} [/mm]
[mm] \gdw 1\bruch{7}{9}x_{m}^2+x_{m}^2-17\bruch{7}{9}x_{m}+4x_{m}+2\bruch{2}{3}x_{m}+44\bruch{4}{9}-20-13\bruch{1}{3}=0 \gdw 2\bruch{7}{9}x_{m}^2-11\bruch{1}{9}x_{m}+\bruch{100}{9}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{m}^2-4x_{m}+4=0
[/mm]
[mm] x_{m}_{1;2}=2\pm\wurzel{(-2)^2-4}=2\pm\wurzel{0}
[/mm]
[mm] \gdw x_{m}=2 \Rightarrow 6\bruch{2}{3}-\bruch{4*2}{3}=y_{m}=4
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $M(2|4)$
[mm] \mbox{Jetzt stimmt's.}
[/mm]
[mm] \mbox{Grüße,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Steffi87 |
Erstmal Danke.
Ich habe gleich deine Rechnung nachgerechnet und mir ist aufgefallen, daß du beim Gleichsetzen bei [mm] xm^2 [/mm] die ^2 vergessen hast.
Aber ich habe den Rechenweg auch so verstanden.
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Steffi87 |
sorry ich meinte beim Einsetzen nicht beim Gleichsetzen
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