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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 25.02.2007 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-2/0/2), B(2/1/4), P(-2/-4/4) und [mm] D(-2/-4$\wurzel{2}$/2+2$\wurzel{2}$) [/mm] gegeben.
Die Strecke [mm] $\overline{AB}$ [/mm] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt A mit dem Radius [mm] $\wurzel{20}$ [/mm] liegt in der Ebene E.
1) Weisen Sie nach, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Öffnungswinkel dieses Kreiskegels an der Spitze B.
2) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, um die Koordinaten eines von P verschiedenen Punktes zu ermitteln, der auf dem Grundkreis k liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten eines solchen Punktes. |
Hi,
zu 1): Den Öffnungswinkel habe ich mit $ [mm] $sin(\alpha)=\bruch{r}{\overline{PB}} [/mm] $ berechnet und bekomme für $ [mm] 2$\alpha$=88,6° [/mm] $
zu 2)Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Der Punkt muss ja in der Ebene liegen und den Abstand r zu A haben. Aber wie kann man das ausrechen?
Danke für deine Geduld!
Gruß
Clone
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Hallo Clone,
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(-2/0/2), B(2/1/4), P(-2/-4/4) und
> D(-2/-4[mm]\wurzel{2}[/mm]/2+2[mm]\wurzel{2}[/mm]) gegeben.
> Die Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] ist die Höhe eines geraden
> Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt A mit dem
> Radius [mm]\wurzel{20}[/mm] liegt in der Ebene E.
> 1) Weisen Sie nach, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k
> liegt. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den
> Öffnungswinkel dieses Kreiskegels an der Spitze B.
> 2) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, um die Koordinaten
> eines von P verschiedenen Punktes zu ermitteln, der auf dem
> Grundkreis k liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten eines
> solchen Punktes.
> Hi,
> zu 1): Den Öffnungswinkel habe ich mit
> [mm]\sin(\alpha)=\bruch{r}{\overline{PB}}[/mm] berechnet und
> bekomme für [mm]2\alpha=88,6°[/mm]
Überlegungen zum Kegel:
Der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist Normalenvektor zur Ebene E. (gerader Kegel)
Zusammen mit A oder P kannst du dann die Ebenengleichung aufstellen.
> zu 2)Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Der Punkt muss
> ja in der Ebene liegen und den Abstand r zu A haben. Aber
> wie kann man das ausrechen?
mit der Ebenengleichung und dem Kreis um A mit Radius r solltest du weitere Punkte finden können.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 25.02.2007 | | Autor: | Clone |
Hallo,
für die Ebenengleichung bekomme ich E: $ [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2}*\vec{x}=-4 [/mm] $. Wie komme ich jetzt auf die Koordinaten eines Punktes auf dem Grundkreis k? Könntest du evt. einen Rechenansatz abtippen. Das wäre sehr hilfreich.
Danke.
Gruß
Clone
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Hallo Clone,
| Aufgabe |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-2/0/2), B(2/1/4), P(-2/-4/4) und D(-2/-4$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $/2+2$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $) gegeben.
Die Strecke $ [mm] \overline{AB} [/mm] $ ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt A mit dem Radius $ [mm] \wurzel{20} [/mm] $ liegt in der Ebene E.
1) Weisen Sie nach, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Öffnungswinkel dieses Kreiskegels an der Spitze B.
2) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, um die Koordinaten eines von P verschiedenen Punktes zu ermitteln, der auf dem Grundkreis k liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten eines solchen Punktes.
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> Hallo,
> für die Ebenengleichung bekomme ich E: [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 2}*\vec{x}=-4 [/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie komme ich jetzt auf die Koordinaten eines Punktes auf
> dem Grundkreis k? Könntest du evt. einen Rechenansatz
> abtippen. Das wäre sehr hilfreich.
Ein solcher Punkt X liegt
1. auf der Ebene E
2. auf dem Kreis um A mit Radius r.
3. hat von B denselben Abstand wie P: |BP|=|BX|
1. [mm] 4x_1+x_2+2x_3=-4
[/mm]
2. [mm] (x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+(x_3-a_3)^2=r^2
[/mm]
3. ....
Drei Gleichungen für die drei Koordinaten ...
Kommst du jetzt weiter?
Hast du schon geprüft, dass P auf dem Kreis liegt?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 25.02.2007 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | | 3) Für jedes a [mm] ($a\in\IR$) [/mm] ist ein Punkt [mm] C_a(-a/8-2a/-6+3a) [/mm] gegeben. Ermitteln Sie alle Werte a, für die der Punkt [mm] $C_a$ [/mm] innerhalb des Grundkreises k liegt. Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punktes [mm] $C_a$ [/mm] an, der vom Grundkreismittelpunkt den kleinstmöglichen Abstand hat. |
Hallo,
könnte mir jemand vielleicht sagen, welchen Ansatz ich wählen kann, um das Ergebnis herauszubekommen?
Gruß
Clone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Clone!
Hast Du denn bereits die entsprechende Kreisgleichung von $k_$ ermittelt?
Hier setzt Du die Koordinatenwerte von [mm] $C_a$ [/mm] ein mit $... \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left( \ \wurzel{20} \ \right)^2$ [/mm] und löst nach $a_$ auf.
Für den zu minimierenden Abstand setzt Du ein in die Abstandsformel:
[mm] $d(A,C_a) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_{C_a}-x_A\right)^2+\left(y_{C_a}-y_A\right)^2+\left(z_{C_a}-z_A\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(-a+2\right)^2+\left(8-2a-0\right)^2+\left(-6+3a-2\right)^2} [/mm] \ = \ ...$
Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.). Einfacher wird es jedoch, wenn Du die Hilfsfunktion $h(a) \ = \ [mm] \left[ \ d(A,C_a) \ \right]^2$ [/mm] betrachtest, weil du damit die Problematik mit der Wurzel umgehst.
Gruß
Loddar
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