Kreisspiegelung/-Translation < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien zwei Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] sowie [mm] \{w_1,w_2,w_3\} [/mm] verschiedener Punkte aus [mm] \hat{\mathbb{C}} [/mm] := [mm] \mathbb{C} \cup \infty [/mm] . Dann existiert genau eine gebrochen lineare Funktion L : [mm] \hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}} [/mm] mit [mm] L(z_i)=w_i.
[/mm]
[mm] \textbf{Beweis.}
[/mm]
Die gebrochen lineare Funktion $L(z) = [mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}$ [/mm] bildet das Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] auf [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] ab. Damit kann jedes Tripel verschiedener Punkte aus [mm] \hat{\mathbb{C}} [/mm] unter der Wirkung von $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] auf das Tripel [mm] \{0, \infty, 1\} [/mm] abgebildet werden, also zwei Tripel auch aufeinander.
Die behauptete Eindeutigkeit ergibt sich aus folgender Überlegung:
Sei L eine gebrochen lineare Funktion mit $L(0)=0, [mm] L(\infty)=\infty$ [/mm] und $L(1)=1$. In der Darstellung von $L$ mittels der Matrix bestehend aus den Zahlen a,b,c,d folgt sofort, dass dann b=c=0 und a=d gilt. Damit ist $L=id$ die Identität.
Literatur: Elementargeometrie, Agricola & Fischer, Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 2011, Seite: 48f |
Hallo,
ich soll oben genannten Satz beweisen, dabei habe ich die gebrochen lineare Funktion $L(z) = [mm] $\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1} [/mm] gegeben, die das Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] auf [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] abbildet.
Die Gruppe $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] ist definiert als $SL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})/\{\pm 1_2\}$. [/mm] Die Gruppe wird von Verknüpfungen von zwei Kreisspiegelungen erzeugt. Die gebrochen lineare Funktion $L$ ist damit eine Abbildung zwischen verallgemeinerten Kreisen, die soweit ich das inzwischen verstanden habe, entweder Kreise oder auch Geraden sein können.
Die obige Aufgabe ist doch nur ein "Spezialfall" der $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] bzw. eine genauere Betrachtung, oder?
Mir fehlt momentan der Ansatz wie ich von einem Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] zu dem Tripel [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] komme. Dass $L$ die identische Abbildung ist sieht man ja auch daran, dass eben [mm] $0,1,\infty$ [/mm] durch $L$ auf sich selbst abgebildet werden.
Die im Beweis genannte Matrix, habe ich mir als 2 [mm] \times [/mm] 2 - Matrix überlegt mit den jeweiligen Eintragen a,b,c,d also:
[mm] A=\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
[/mm]
wenn dabei $b=c=0$ gilt, und $a=d$ habe ich ja ein Vielfaches der Einheitsmatrix und somit logischerweise die Identität. Kann ich das einfach aus der Tatsache folgern, dass $L(0)=0, [mm] L(\infty)=\infty$ [/mm] und $L(1)=1$ gilt?
Obwohl ich jetzt doch schon ein paar Semester hinter mir habe, komme ich mir vor wie ein Erstsemester.
Ich hoffe, jemand von euch kann mir eine "Machete für mein intellektuelles Dickicht leihen". ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Mühe. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Do 02.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Gegeben seien zwei Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] sowie
> [mm]\{w_1,w_2,w_3\}[/mm] verschiedener Punkte aus [mm]\hat{\mathbb{C}}[/mm]
> := [mm]\mathbb{C} \cup \infty[/mm] . Dann existiert genau eine
> gebrochen lineare Funktion L : [mm]\hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}}[/mm]
> mit [mm]L(z_i)=w_i.[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Beweis.}[/mm]
> Die gebrochen lineare Funktion [mm]L(z) = \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}[/mm]
> bildet das Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] auf [mm]\{0,\infty,1\}[/mm] ab.
> Damit kann jedes Tripel verschiedener Punkte aus
> [mm]\hat{\mathbb{C}}[/mm] unter der Wirkung von [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm]
> auf das Tripel [mm]\{0, \infty, 1\}[/mm] abgebildet werden, also
> zwei Tripel auch aufeinander.
>
> Die behauptete Eindeutigkeit ergibt sich aus folgender
> Überlegung:
>
> Sei L eine gebrochen lineare Funktion mit [mm]L(0)=0, L(\infty)=\infty[/mm]
> und [mm]L(1)=1[/mm]. In der Darstellung von [mm]L[/mm] mittels der Matrix
> bestehend aus den Zahlen a,b,c,d folgt sofort, dass dann
> b=c=0 und a=d gilt. Damit ist [mm]L=id[/mm] die Identität.
>
>
> Literatur: Elementargeometrie, Agricola & Fischer,
> Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 2011,
> Seite: 48f
> Hallo,
>
> ich soll oben genannten Satz beweisen, dabei habe ich die
> gebrochen lineare Funktion [mm]L(z) =[/mm][mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}[/mm]
> gegeben, die das Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] auf [mm]\{0,\infty,1\}[/mm]
> abbildet.
>
> Die Gruppe [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm] ist definiert als
> [mm]SL(2, \hat{\mathbb{C}})/\{\pm 1_2\}[/mm]. Die Gruppe wird von
> Verknüpfungen von zwei Kreisspiegelungen erzeugt. Die
> gebrochen lineare Funktion [mm]L[/mm] ist damit eine Abbildung
> zwischen verallgemeinerten Kreisen, die soweit ich das
> inzwischen verstanden habe, entweder Kreise oder auch
> Geraden sein können.
>
> Die obige Aufgabe ist doch nur ein "Spezialfall" der [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm]
> bzw. eine genauere Betrachtung, oder?
Diese Frage verstehe ich nicht. Du willst nachweisen,dass die $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] scharf $3$-transitiv ist.
>
> Mir fehlt momentan der Ansatz wie ich von einem Tripel
> [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] zu dem Tripel [mm]\{0,\infty,1\}[/mm] komme. Dass [mm]L[/mm]
> die identische Abbildung ist sieht man ja auch daran, dass
> eben [mm]0,1,\infty[/mm] durch [mm]L[/mm] auf sich selbst abgebildet werden.
Achtung, ich glaube Du bringst hier etwas durcheinander: der obige Beweis hat zwei Teile, wobei im ersten Teil ein $L$ angegeben wird, das [mm] $(z_{1}, z_{2}, z_{3})$ [/mm] auf $(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] abbildet.
Jetzt musst Du Dir noch klarmachen, dass daraus tatsaechlich die behauptete Transitivitaet folgt! Mein Tip dazu: Wenn [mm] $(z_{i})^{L}= [/mm] (0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] und [mm] $(w_{i})^{M}= [/mm] (0, [mm] 1,\infty)$, [/mm] dann betrachte [mm] $LM^{-1}$.
[/mm]
Nun der zweite Teil, naemlich die Eindeutigkeit. Hier hat das $L$ eine andere Bedeutung bekommen. Das ist zwar nicht besonders guter Stil, aber was soll man machen...
Der Gedankengang ist etwa so: Seien $S,M$ gebrochen-lineare Abbildungen, die beide [mm] $(z_{i})$ [/mm] auf $(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] abbilden. Dann ist [mm] $S^{-1}M$ [/mm] eine gebrochen-lineare Abbildung, die
$(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] fest laesst (rechne dies nach!). Dieses [mm] $S^{-1}M$ [/mm] wird in dem Beweistext wieder mit $L$ bezeichnet. Jetzt mache man sich klar, dass dieses $L$ die identische Abbildung sein muss: Da wir ueber gebrochen-lineare Abbildungen sprechen, ist $L(z)= [mm] \frac{az+b}{cz+d}$ [/mm] fuer gewisse $a,b,c,d$. Ferner weisst Du, dass $L(0)= 0$ ist, d.h. [mm] $\frac{b}{d}= [/mm] 0$, also $b=0$. Nun setzte noch $1$ und [mm] $\infty$ [/mm] in $L$ ein und versuche daraus ebenso Schlussfolgerungen ueber die Parameter zu ziehen.
>
> Die im Beweis genannte Matrix, habe ich mir als 2 [mm]\times[/mm] 2
> - Matrix überlegt mit den jeweiligen Eintragen a,b,c,d
> also:
> [mm]A=\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> wenn dabei [mm]b=c=0[/mm] gilt, und [mm]a=d[/mm] habe ich ja ein Vielfaches
> der Einheitsmatrix und somit logischerweise die Identität.
> Kann ich das einfach aus der Tatsache folgern, dass [mm]L(0)=0, L(\infty)=\infty[/mm]
> und [mm]L(1)=1[/mm] gilt?
S.o.
>
> Obwohl ich jetzt doch schon ein paar Semester hinter mir
> habe, komme ich mir vor wie ein Erstsemester.
> Ich hoffe, jemand von euch kann mir eine "Machete für mein
> intellektuelles Dickicht leihen". ^^
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Mühe. :)
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