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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Kreisteilungspolynome
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Kreisteilungspolynome: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:33 Sa 03.09.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Wie sieht das Kreisteilungspolynom von [mm] x^4-1 [/mm] aus und was wissen wir darüber? Wie sieht das mit [mm] x^4+1 [/mm] aus?

Hallo!

Der erste Teil war erstmal kein Problem: [mm] x^4-1=\produkt_{d|4}\phi_d(x), [/mm] also habe ich die [mm] \phi_d(x)=\produkt_{ord \alpha =d}(x-\alpha) [/mm] (mit [mm] \alpha [/mm] Einheitswurzel) betrachtet bei denen d|4, also bei 1, 2, 4:
[mm] \phi_1(x)=x-1 [/mm] (NS bei 1 hat Ordnung 1)
[mm] \phi_2(x)=x+1 [/mm] (NS bei -1 hat Ordnung 2)
[mm] \phi_4(x)=(x-i)(x+i)=x^2+1 [/mm] (NS bei i und -i haben Ordnung 4)

Jetzt ist also [mm] x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) [/mm]
Aber was ist dann "das" Kreisteilungspolynom: [mm] \phi_4(x)? [/mm] also [mm] x^2+1? [/mm]

Darüber wissen wir auf jeden Fall, dass es in [mm] \IQ[X] [/mm] und sogar in [mm] \IR[X] [/mm] irreduzibel ist.

Bei [mm] x^4+1 [/mm] bin ich ins Stocken geraten: Das ist ja das 8. Kreisteilungspolynom. Sucht man dann hier die Zerlegung von [mm] \phi_8? [/mm]
Das wäre [mm] (x-\sqrt i)(x+\sqrt i)(x-i\sqrt i)(x+i\sqrt [/mm] i)
Oder was könnte gemeint sein?

Ich würde mich über etwas Hilfe freuen! :-)
Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Kreisteilungspolynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:15 Di 06.09.2016
Autor: hippias

Ich habe auch Schwierigkeiten die Aufgabenstellung zu verstehen, aber ich habe die Vermutung, dass man sich auf die Teiler der gegebenen Polynome beschränken soll. Wie habt ihr Kreisteilungspolynome definiert?


Bezug
        
Bezug
Kreisteilungspolynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 11.09.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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