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Hallo,
für die Schule soll ich eine GFS über Kreuzprodukte halten. Die Ansätze hab ich mir schon angeeignet, ich war bei wikipedia und ein paar anderen Seiten. In unserem Schulbuch steht nichts darüber.
Was mir noch nicht ganz klar ist, ist, die Herleitung von:
(a2b3-a3b2)
Vektor von a x Vektor von b = (a3b1-a1b3)
(a1b2-a2b1)
(Besser hab ich's nicht hingekriegt, ich hoff, es ist verständlich)
Woher kommt das? Bei Wikipedia steht noch
( 0 -a3 a2 ) (b1)
= ( a3 0 -a1 ) (b2)
( -a2 a1 0 ) (b3)
Da versteh ich nur noch Bahnhof.
Wär super, wenn mir jemand helfen könnte.. :o)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Dann kopiere ich, was ich andernorts schon geschrieben habe:
Man kann das Vektorprodukt folgendermaßen motivieren:
Gesucht ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor [mm]\vec{x}[/mm] des [mm]\mathbb{R}^3[/mm], der auf den zwei Vektoren
[mm]\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, , \ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}[/mm]
senkrecht steht. Anschaulich ist es klar, daß es da unendlich viele Möglichkeiten gibt, da man über die Länge des Vektors [mm]\vec{x}[/mm] frei verfügen kann. Der Ansatz mit dem Skalarprodukt liefert ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Koordinaten [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] von [mm]\vec{x}[/mm] mit zwei Gleichungen:
[mm]a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0[/mm]
[mm]b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen folgt, wenn man das [mm](-b_1)[/mm]-fache der ersten zum [mm]a_1[/mm]-fachen der zweiten Gleichung addiert, die Gleichung:
[mm](a_1 b_2 - a_2 b_1) x_2 - (a_3 b_1 - a_1 b_3) x_3 = 0[/mm]
Und diese Gleichung wird erfüllt, wenn man für [mm]x_2 , x_3[/mm] die Koeffizienten der Gleichung "über Kreuz" wählt:
[mm]x_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3 \, , \ x_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1[/mm]
Setzt man die Werte für [mm]x_2, x_3[/mm] in die erste Gleichung ein, so sieht man, daß mit [mm]x_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2[/mm] auch diese Gleichung gelöst wird. Und die Probe mit den drei Werten für [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] an den beiden Ausgangsgleichungen zeigt dann, daß diese tatsächlich gelöst werden.
Allerdings ist jetzt noch nicht klar, ob und wann bei dieser Wahl gegebenenfalls der Nullvektor entsteht. Man kann dann weiter zeigen, daß die lineare Unabhängigkeit von [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm] garantiert, daß [mm]\vec{x}[/mm] nicht der Nullvektor ist. Vielleicht versuchst du dich einmal selber an diesem Beweis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Barfusseva |
Super, dankeschön! Das muss ich mir jetzt erstmal durchlesen...
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Oh, und noch was:
Hat jemand ne Idee, wo man im Internet Beispielaufgaben finden kann? Oft gibt es doch z.B. auch speziell für Lehrer so Seiten..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Eva!
Nach der sehr schönen Erklärung von Leopold möchte ich dich noch auf einen außergewöhnlich guten Artikel zum Kreuzprodukt hinweisen, von einem Schüler auf dem Matheplaneten verfasst:
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=692
Dort findest du auch zahlreiche Beispiele...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Do 03.11.2005 | | Autor: | Barfusseva |
So, dann hab ich ja jetzt erstmal zu tun... *g*
Dankeschön, ich meld mich dann wieder, wenn ich durch bin oder was nicht versteh. :o)
Grüße,
Eva
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