Kriterien für Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Fr 29.05.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Seien [mm] (a_n)_n, (b_n)_n [/mm] und [mm] (c_n)_n [/mm] Folgen reeller Zahlen mit [mm] a_n\leq b_n\leq c_n [/mm] bis auf endlich viele n. Falls [mm] a_n\rightarrow [/mm] x und [mm] c_n\rightarrow [/mm] x, dann gilt auch [mm] b_n\rightarrow [/mm] x. |
Annahme:(i) [mm] (b_n)_n [/mm] divergiert gegen [mm] +\infty \Rightarrow a_nc_n
[/mm]
(ii) [mm] (b_n)_n [/mm] divergiert gegen [mm] -\infty \Rightarrow a_n>b_n
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Vorraussetzung [mm] \Rightarrow b_n [/mm] muss ebenfalls gegen x konvergieren, da [mm] a_n\leq b_n\leq c_n
[/mm]
Ist das damit (wenn vielleicht auch unschön...) bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ausser dass dein Beweis falsch aufgeschrieben ist wuerde er auch nichts helfen. denn du zeigst ja nicht, dass [mm] b_n [/mm] gegen x konvergiert, sondern nur, dass es nicht divergiert. es koennten nicht divergieren aber gegen [mm] y\ne [/mm] x konvergieren.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:57 Fr 29.05.2009 | | Autor: | notinX |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie es richtig geht?
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> Beweisen Sie: Seien [mm](a_n)_n, (b_n)_n[/mm] und [mm](c_n)_n[/mm] Folgen
> reeller Zahlen mit [mm]a_n\leq b_n\leq c_n[/mm] bis auf endlich
> viele n. Falls [mm]a_n\rightarrow[/mm] x und [mm]c_n\rightarrow[/mm] x, dann
> gilt auch [mm]b_n\rightarrow[/mm] x.
Hallo,
zur Vorgehensweise:
ich habe Dir an anderer Stelle ja schon gesagt, daß das Glück in den Definitionen liegt.
Am besten sichtet man zunächst das Material:
> [mm]a_n\leq b_n\leq c_n[/mm] bis auf endlich
> viele n.
Was bedeutet dies?
Am Anfang darf bei den Folge [mm] (a_n), (b_n), (c_n) [/mm] noch alles drunter und drüber gehen.
Es gibt jedoch einen Schwellenwert S, so daß für alle n, die größer als S sind, gilt: [mm] a_n\leq b_n\leq c_n.
[/mm]
Nun wird vorausgesetzt:
> [mm]a_n\rightarrow[/mm] x und [mm]c_n\rightarrow[/mm] x,
Was bedeutet das für die Folge [mm] (a_n)? [/mm] (Hier ist ein Blick ins Skript fällig, wenn Du es nicht weißt:)
Für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon, [/mm] welches ich mir ausdenke, findet man einen Schwellenwert N, so so daß ab dem N-ten Folgenglied von [mm] (a_n) [/mm] kein Folgengled weiter als [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert x entfernt ist.
Weniger blumig:
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] so, daß für alle n>N gilt [mm] |a_n-x|<\varepsilon.
[/mm]
( [mm] |a_n-x|<\varepsilon [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] -\varepsilon< a_n-x <\varepsilon [/mm] )
Was bedeutet es für die Folge [mm] (c_n)?
[/mm]
Für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon, [/mm] welches ich mir ausdenke, findet man einen Schwellenwert M, so so daß ab dem M-ten Folgenglied von [mm] (c_n) [/mm] kein Folgengled weiter als [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert x entfernt ist.
Weniger blumig:
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] M\in \IN [/mm] so, daß für alle n>M gilt : [mm] |c_n-x|<\varepsilon.
[/mm]
( [mm] |c_n-x|<\varepsilon [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] -\varepsilon< c_n-x <\varepsilon [/mm] )
Bisher haben wir uns angeschaut und vor allem klargemacht, unter welchen Voraussetzungen der Beweis zu führen ist.
Jetzt schauen wir uns an, was gezeigt werden soll:
[mm]b_n\rightarrow[/mm] x.
Was sollen wir also zeigen?
Für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon, [/mm] welches ich mir ausdenke, findet man einen Schwellenwert K, so so daß ab dem K-ten Folgenglied von [mm] (b_n) [/mm] kein Folgengled weiter als [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert x entfernt ist.
Weniger blumig:
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] K\in \IN [/mm] so, daß für alle n>K gilt : [mm] |b_n-x|<\varepsilon.
[/mm]
( [mm] |b_n-x|<\varepsilon [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] -\varepsilon< b_n-x <\varepsilon [/mm] ).
Nachden klar ist, was zu zeigen ist, muß man genau hinschauen, was zu tun ist: der Job ist, zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes K zu finden, mit welchem alles schon klappt.
[Jetzt erst kann der Beweis beginnen. Solange die notwendigen Vorarbeiten nicht geleistet sind, braucht man fürs Beweisen keine Zeit zu verschwenden. Sie wäre in einen Gang in den Benderhof oder in die Waschmühle besser investiert. ]
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Fernziel ist, daß wir ein K finden, so daß wir ab diesem Schwellenwert [mm] b_n-x [/mm] zwischen [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] -\varepsilon [/mm] einquetschen können.
Jetzt kommt erstmal Schmierpapier zum Einsatz:
Wir wissen: n.V. gibt es ein S so, daß für alle n>S gilt: [mm] a_n\leq b_n\leq c_n.
[/mm]
Da wir als Fernziel [mm] b_n-x [/mm] nach oben und unen abschätzen wollen, bietet es sich doch mal an, das x überall zu subtrahieren:
für alle n>S gilt: [mm] a_n-x \leq b_n-x \leq c_n-x.
[/mm]
Nun schau mal, unter welchen Bedingungen Du [mm] a_n-x [/mm] nach unten abschätzen kannst und [mm] c_n-x [/mm] nach oben.
Frickel Dir nun ein passendes K zurecht. Dieses K wird vermutlich irgendwie von den bereits "bekannten" Schwellen S, M, N abhängen.
Wenn Du ein schönes K gefunden hast, dann nimmst Du Dein schönes Blatt und schreibst den Beweis auf:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und K:= ... und nun rechnst Du vor, wie alles so herrlich klappt.
Ich hab' das jetzt extra so langatmig erklärt, damit Du ein bißchen siehst, wie man die Sache angehen kann, und auch, damit Du merkst, wie gründlich man die Sache angehen muß.
Der eigentliche Beweis ist dann sehr kurz.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 30.05.2009 | | Autor: | notinX |
> Da wir als Fernziel [mm]b_n-x[/mm] nach oben und unen abschätzen
> wollen, bietet es sich doch mal an, das x überall zu
> subtrahieren:
Was genau meinst Du mit "abschätzen"?
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> > Da wir als Fernziel [mm]b_n-x[/mm] nach oben und unen abschätzen
> > wollen, bietet es sich doch mal an, das x überall zu
> > subtrahieren:
> Was genau meinst Du mit "abschätzen"?
Hallo,
damit meine ich daß Du (begründet - nicht pi mal Daumen!) sagst: [mm] b_n-x [/mm] ist größer als dies und kleiner als das, liegt also dazwischen.
Übrigens: wenn eine für reelle Zahlen r, t gilt, daß [mm] t\le r\le [/mm] t, dann kann man folgern, daß r und t gleich sind.
Gruß v. Angela
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