Kritische Punkte Minima Maxima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:54 Fr 22.11.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | $ [mm] f(x,y)=(x^2+y^2) e^{-x} [/mm] $
a) Untersuche f auf lokale Extrema
b) Besitzt f ein lokales Minimum, ein globales Maximum |
Hallo,
ich stell kurz die wichtigen Passagen der Aufgabe ein. Eigentlich geht's mir darum einen Weg zu finden, beim Ableiten keine Fehler zu machen. Vor allem, wenn bspw. $ [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] 2ye^{-x} [/mm] $ nach $ x $ bzw. $ y $ abgeleitet wird. Hier komm ich immer wieder mit der Konstanten durcheinander.
a) $ (grad f)(x,y)= 0 $
$ [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] 2xe^{-x} [/mm] + [mm] (x^2+y^2)(-e^{-x}) [/mm] = [mm] e^{-x}(2x-x^2-y^2) [/mm] $
$ [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] 2ye^{-x} [/mm] $
$ (grad f)(x,y) = 0 [mm] \Leftrightarrow \begin{cases} 0=e^{-x}(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2ye^{-x}, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Da $ [mm] e^z \neq [/mm] 0 $, folgt hieraus:
$ [mm] \begin{cases} 0=(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2y, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Kritische Punkte in f sind: (0,0) und (2,0).
b)
Zum Bestimmen der Extrema Hesse-Matrix:
$ [mm] H_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ -e^{-x}(2x-x^2-y^2)+e^{-x}(2-2x) & -2ye^{-x} \\ -2ye^{-x} & 2e^{-x} } [/mm] $
Somit:
$ [mm] H_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{\delta^2f}{\delta x^2} & \bruch{\delta^2f}{\delta y \delta x} \\ \bruch{\delta^2f}{\delta x \delta y} & \bruch{\delta^2 f}{\delta y^2} } [/mm] $
$ [mm] H_f(0,0)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] $
D positiv, 1. Hauptminor positiv, daraus folgt lok. Minimum.
Für (2,0) zeig ich jetzt nicht, weil's nach gleichem Vorgehen läuft.
Zu meinem Problem: Ich komme öfter beim Ableiten durcheinander, bspw. hab ich zu Beginn beim Ableiten von
$ [mm] 2ye^{-x} [/mm] $ nach $ x $ mit $ u'v + uv' $ gerechnet. Dabei ist $ 2y $ beim Ableiten nach $ x $ Konstante.
Eselsbrücke are very welcome.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Fr 22.11.2019 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=(x^2+y^2) e^{-x}[/mm]
>
> a) Untersuche f auf lokale Extrema
> b) Besitzt f ein lokales Minimum, ein globales Maximum
>
> Hallo,
> ich stell kurz die wichtigen Passagen der Aufgabe ein.
> Eigentlich geht's mir darum einen Weg zu finden, beim
> Ableiten keine Fehler zu machen. Vor allem, wenn bspw.
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y} = 2ye^{-x}[/mm] nach [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm]
> abgeleitet wird. Hier komm ich immer wieder mit der
> Konstanten durcheinander.
>
> a) [mm](grad f)(x,y)= 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x} = 2xe^{-x} + (x^2+y^2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x-x^2-y^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y} = 2ye^{-x}[/mm]
>
> [mm](grad f)(x,y) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 0=e^{-x}(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2ye^{-x}, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Da [mm]e^z \neq 0 [/mm], folgt hieraus:
>
>
>
> [mm]\begin{cases} 0=(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2y, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Kritische Punkte in f sind: (0,0) und (2,0).
Bis hier ist alles bestens. Nur das [mm] \delta [/mm] stört, das ist nicht die übliche Schreibweise. Schreibe statt [mm] \delta [/mm] das: [mm] \partial.
[/mm]
>
>
> b)
>
> Zum Bestimmen der Extrema Hesse-Matrix:
>
> [mm]H_f(x,y) = \pmat{ -e^{-x}(2x-x^2-y^2)+e^{-x}(2-2x) & -2ye^{-x} \\ -2ye^{-x} & 2e^{-x} } [/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]H_f(x,y) = \pmat{ \bruch{\delta^2f}{\delta x^2} & \bruch{\delta^2f}{\delta y \delta x} \\ \bruch{\delta^2f}{\delta x \delta y} & \bruch{\delta^2 f}{\delta y^2} } [/mm]
Auch das stimmt. (Bis auf [mm] \delta)
[/mm]
>
>
> [mm]H_f(0,0)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]
>
> D positiv, 1. Hauptminor positiv, daraus folgt lok.
> Minimum.
Das hättest Du einfacher haben können: es ist $f(x,y) [mm] \ge [/mm] 0$ für all $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $f(0,0) =0.$ Damit hat f in (0,0) sogar ein globales Minimum !
>
> Für (2,0) zeig ich jetzt nicht, weil's nach gleichem
> Vorgehen läuft.
>
> Zu meinem Problem: Ich komme öfter beim Ableiten
> durcheinander, bspw. hab ich zu Beginn beim Ableiten von
> [mm]2ye^{-x}[/mm] nach [mm]x[/mm] mit [mm]u'v + uv'[/mm] gerechnet. Dabei ist [mm]2y[/mm] beim
> Ableiten nach [mm]x[/mm] Konstante.
Ja, so ist es.
>
> Eselsbrücke are very welcome.
Oh, yeah, lets talk denglish. In order to differentiate [mm]2ye^{-x}[/mm] with respect to x with the product rule, is like shooting with canons auf spatzen.
A donkey bridge: $ [mm] \frac{ \partial}{\partial x} 5e^{-x}=-5e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} 9e^{-x}=-9e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} ye^{-x}=-ye^{-x}, [/mm] .......$
Kommst Du now clear ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Fr 22.11.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi fred,
> Oh, yeah, lets talk denglish. In order to differentiate
> [mm]2ye^{-x}[/mm] with respect to x with the product rule, is like
> shooting with canons auf spatzen.
>
> A donkey bridge: [mm]\frac{ \partial}{\partial x} 5e^{-x}=-5e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} 9e^{-x}=-9e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} ye^{-x}=-ye^{-x}, .......[/mm]
>
> Kommst Du now clear ?
Danke für den Lacher am Morgen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Sa 23.11.2019 | | Autor: | bondi |
Oh jess, I am clear now.
I thank you very.
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