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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Do 15.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Wo ist der Graph der Funktion [mm] f(x)=\sqrt{1-\sin(x)} [/mm] links- bzw rechtsgekrümmt? |
Ist keine Aufgabe die mir so gestellt worden ist aber ich wollte probieren das trotzdem mal herauszufinden.
Also ich leite f(x) zweimal ab:
Ich bin mir nicht sicher aber evtl ist [mm] \sqrt{1-\sin(x)} [/mm] für [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi [/mm] nicht diff'bar...
[mm] f'(x)=\bruch{-\cos(x)}{2*\sqrt{1-\sin(x)}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{\sin(x)*2*\sqrt{1-\sin(x)}-\bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-sin(x)}}}{(2*\sqrt{1-\sin(x)})^2}
[/mm]
um rauszufinden wo der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist müsste ich rausfinden, wo f''(x) <0 bzw >0 ist...
Der Term sieht relativ schwer aus-jedoch sehe ich,
dass der Nenner durch das Quadrat immer [mm] \ge [/mm] 0 ist.
[mm] 2*\sqrt{1-\sin(x)} [/mm] ist auch immer positiv sowie [mm] \bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-sin(x)}}
[/mm]
Jetzt habe ich probiert rauszufinden wann der Zähler < 0 und wann > 0 wird.
[mm] \sin(x)*2*\sqrt{1-\sin(x)}>\bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-\sin(x)}}\qquad |*\sqrt{1-\sin(x)} \gdw x\not=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi
[/mm]
[mm] \sin(x)*2*(1-\sin(x))>\cos^2(x)
[/mm]
[mm] \sin(x)*2-2*\sin^2(x)>1-\sin^2(x)
[/mm]
[mm] -\sin^2(x)+2*\sin(x)-1>0
[/mm]
[mm] \sin^2(x)-2*\sin(x)+1<0
[/mm]
[mm] (\sin(x)-1)^2<0 [/mm]
und das ist ja nie erfüllt, da [mm] (\sin(x)-1)^2 [/mm] immer [mm] \ge [/mm] 0 ist...
heisst das jetzt, dass der Zähler und somit der Bruch immer negativ sind und der Graph auf ganz [mm] \IR [/mm] rechtsgekrümmt ist?
Was ist mit den Stellen [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi [/mm] ?
Danke und Gruß,
tedd
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> Wo ist der Graph der Funktion [mm]f(x)=\sqrt{1-\sin(x)}[/mm] links-
> bzw rechtsgekrümmt?
> Ist keine Aufgabe die mir so gestellt worden ist aber ich
> wollte probieren das trotzdem mal herauszufinden.
>
> Also ich leite f(x) zweimal ab:
>
> Ich bin mir nicht sicher aber evtl ist [mm]\sqrt{1-\sin(x)}[/mm] für
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi[/mm] nicht diff'bar...
>
> [mm]f'(x)=\bruch{-\cos(x)}{2*\sqrt{1-\sin(x)}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{\sin(x)*2*\sqrt{1-\sin(x)}-\bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-sin(x)}}}{(2*\sqrt{1-\sin(x)})^2}[/mm]
>
> um rauszufinden wo der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist
> müsste ich rausfinden, wo f''(x) <0 bzw >0 ist...
>
> Der Term sieht relativ schwer aus-jedoch sehe ich,
> dass der Nenner durch das Quadrat immer [mm]\ge[/mm] 0 ist.
>
> [mm]2*\sqrt{1-\sin(x)}[/mm] ist auch immer positiv sowie
> [mm]\bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-sin(x)}}[/mm]
>
> Jetzt habe ich probiert rauszufinden wann der Zähler < 0
> und wann > 0 wird.
Bis hierher schonmal alles richtig.
> [mm]\sin(x)*2*\sqrt{1-\sin(x)}>\bruch{\cos^2(x)}{\sqrt{1-\sin(x)}}\qquad |*\sqrt{1-\sin(x)} \gdw x\not=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi[/mm]
>
> [mm]\sin(x)*2*(1-\sin(x))>\cos^2(x)[/mm]
> [mm]\sin(x)*2-2*\sin^2(x)>1-\sin^2(x)[/mm]
> [mm]-\sin^2(x)+2*\sin(x)-1>0[/mm]
> [mm]\sin^2(x)-2*\sin(x)+1<0[/mm]
> [mm](\sin(x)-1)^2<0[/mm]
>
> und das ist ja nie erfüllt, da [mm](\sin(x)-1)^2[/mm] immer [mm]\ge[/mm] 0
> ist...
>
> heisst das jetzt, dass der Zähler und somit der Bruch immer
> negativ sind und der Graph auf ganz [mm]\IR[/mm] rechtsgekrümmt
> ist?
Genau das heißt es, und alles ist richtig gerechnet (und elegant!).
> Was ist mit den Stellen [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi[/mm] ?
An diesen ist f nicht differenzierbar, wie du schon richtig erkannt hast. Deswegen versagt das Kriterium mit f''(x) an diesen Stellen. Im Graphen und natürlich auch durch Rechnung kann man leicht sehen, dass das gerade die lokalen Minima der Funktion sind. Meiner Meinung nach kann man denen keine Krümmung zuweisen, auch nicht nach der ![[]](/images/popup.gif) "Originaldefinition".
Grüße,
Stefan.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
