Krümmung ebener Kurven < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:46 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Balendilin |
| Aufgabe | An jeder Regularitätsstelle der [mm] C^2-Kurve \gamma=(x,y) [/mm] ist
[mm] \kappa(t)=\frac{\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}^3}(t)
[/mm]
Insbesondere gilt für den Graphen einer [mm] C^2-Funktion [/mm] y=f(x)
[mm] \kappa(x)=\frac{f''(x)}{\sqrt{1+f'^2(x)}^3} [/mm] |
Kann mir bitte jemand die beiden Formeln oben beweisen oder zumindest eine Seite im Netz zeigen, wo diese Formeln bewiesen werden? Ich finde nämlich nichts und verstehe den Beweis im Königsberger nicht :(
Es muss auch nicht unbedingt ein Beweis für beide Formeln sein. Mir würde es für's erste reichen, wenn ich die erste Formel verstehen würde.
Danke!
Ergänzung:
In dem Buch ist der Krümmungsfaktor [mm] \kappa(t) [/mm] definiert als:
[mm] T'(t)=\kappa(t)*N(t)
[/mm]
wobei T die Tangente an die Funktion [mm] \gamma [/mm] ist und N(t) die Normale an dieserm Punkt.
Oder alternativ für eine Kurve mit Geschwindigkeit 1:
[mm] \kappa(t)=T'(t)*N(t) [/mm] und [mm] |\kappa(t)|=||T'(t)||
[/mm]
Zum Beweis der Gleichung oben (der ersten Gleichung. Die zweite Gleichung wird im Königsberger gar nicht bewiesen):
Sei [mm] \beta [/mm] eine Umparametrisierung von [mm] \gamma [/mm] auf Einheitsgeschwindigkeit, [mm] \beta(s)=\gamma(t(s)). [/mm] Dann gilt:
[ab nun verstehe ich gar nichts mehr]
[mm] \beta'=\dot{\gamma}*\frac{1}{\dot{s}} [/mm] , [mm] \dot{s}(t)=||\dot{\gamma}|| [/mm] ,
[mm] \beta''=\ddot{\gamma}*\frac{1}{\dot{s}^2}-\dot{\gamma}*\frac{\ddot{s}}{\dot{s}^2} [/mm] .
Damit ergibt sich:
[mm] \kappa_{\gamma}(t)=\kappa_{beta}(s(t))=T'(s)*N(s)=\beta''(s)*D*\beta'(s) [/mm]
[Anmerkung: D bezeichnet die Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinn. [mm] D*\vektor{x \\ y}=\vektor{-y \\ x}]
[/mm]
[mm] =(\ddot{\gamma}*\frac{1}{\dot{s}^2}-\dot{\gamma}*\frac{\ddot{s}}{\dot{s}^2})*D*\dot{\gamma}*\frac{1}{\dot{s}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\dot{s}^3}*\ddot{\gamma}*D*\dot{\gamma}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\dot{s}^3}*(\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y})
[/mm]
q.e.d.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 26.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie ist fuer dich denn Kruemmung definiert? Was verstehst du nicht in deinem Buch? sonst kriegst du hier ja wieder vielleicht dasselbe geboten?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Balendilin |
Hallo Leduard,
ich habe ergänzt, was im Königsberger steht. Ich hoffe, du kannst es mir erklären :)
Viele Grüße,
Balendilin
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Hallo Balendilin,
ich würde zur Definition der Krümmung von der
ganz einfachen Definition der Krümmung beim
Kreis ausgehen: in jedem Punkt eines Kreises
vom Radius r hat dieser eine Krümmung vom
Betrag [mm] |\kappa|=\frac{1}{r}.
[/mm]
Zu jeder differenzierbaren Kurve C in [mm] \IR^2 [/mm] und
zu jedem ihrer Punkte lässt sich aus den lokalen
Werten von x , y , [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] , [mm] \frac{d^2y}{dx^2} [/mm] die Lage des Krüm-
mungsmittelpunktes und die Krümmung berechnen,
indem man sich einen Kreis (Krümmungskreis)
denkt, der durch den betrachteten Punkt geht
und dort in der ersten und der zweiten Ableitung
mit den entsprechenden Werten der Kurve über-
einstimmt. Das Vorzeichen der Krümmung ent-
spricht dem Vorzeichen von [mm] \frac{d^2y}{dx^2} [/mm] .
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Do 27.08.2009 | | Autor: | Balendilin |
kannst du mir auch sagen, wie man aus den vier Angaben den Krümmungskreis berechnen kann?
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> Kannst du mir auch sagen, wie man aus den vier
> Angaben den Krümmungskreis berechnen kann?
Gut - betrachten wir also einen Punkt [mm] $P(x_P/y_P)$ [/mm] des
Graphen einer Funktion [mm] f:x\mapsto [/mm] $y=f(x)$ sowie den in
diesem Punkt an den Graphen gelegten Krümmungs-
bzw. Schmiegekreis $c$. Dieser hat einen Mittelpunkt
$M(u/v)$, einen Radius $r$ und die Kreisgleichung:
$\ [mm] c:\quad (x-u)^2+(y-v)^2=r^2$
[/mm]
Bezeichnen wir noch den Radiusvektor [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] mit
$\ [mm] \vec{r}=\vektor{r_x\\r_y}=\vektor{x_P-u\\y_P-v}$
[/mm]
Ableiten der Kreisgleichung nach $x$, Division durch $2$
und nochmaliges Ableiten ergibt die Gleichung:
$\ [mm] 1+y'\,^2+(y-v)*y''=0$
[/mm]
Diese Gleichung gilt natürlich insbesondere auch im
Punkt $P$. Dort ist [mm] y-v=y_P-v=r_y, [/mm] und $y'$, $y''$ sind die
lokalen Werte der Ableitungen sowohl für den Kreis
als auch für die Funktion $f$. Aus der Gleichung folgt
$\ [mm] r_y=-\,\frac{1+y'\,^2}{y''}$
[/mm]
Die gemeinsame Tangente $t$ von Kreis und Funktions-
graph in $P$ hat die Steigung [mm] m_t=y'. [/mm] Der Radius $MP$
ist orthogonal dazu und hat deshalb die Steigung
$\ [mm] m_r=\frac{r_y}{r_x}=-\,\frac{1}{m_t}=-\,\frac{1}{y'}$
[/mm]
Daraus ergibt sich: [mm] r_x=-r_y*y'
[/mm]
Gesucht ist nun der Kreisradius $r$. Den kann man
nach Pythagoras berechnen:
$\ [mm] r^2=\vec{r}*\vec{r}=r_x^2+r_y^2=r_y^2*(1+y'\,^2)=\left(\frac{1+y'\,^2}{y''}\right)^2*(1+y'\,^2)=\frac{(1+y'\,^2)^3}{y''\,^2}$ [/mm]
Ziehen der Quadratwurzel ergibt
$\ [mm] r=\frac{(1+y'\,^2)^{3/2}}{|y''|}$
[/mm]
Der Kehrwert davon ist der Betrag der Krümmung:
$\ [mm] |\kappa|=\frac{1}{r}=\frac{|y''|}{(1+y'\,^2)^{3/2}}$
[/mm]
Es macht jedoch Sinn, bei der Krümmung das Vorzeichen
beizubehalten, also:
$\ [mm] \kappa\,=\,\frac{y''}{(1+y'\,^2)^{3/2}}$
[/mm]
Al-Chwarizmi
Der Vollständigkeit halber:
Für die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes
M(u/v) erhält man
[mm] u\,=\,x-\frac{1+y'\,^2}{y''}*y'
[/mm]
[mm] v\,=\,y+\frac{1+y'\,^2}{y''}
[/mm]
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Hallo Balendilin,
ich möchte dir doch noch Zugang zu einer Erklärung
der Krümmungsformeln verschaffen. Unter diesem
![[]](/images/popup.gif) Link findest du eine entsprechende Herleitung.
Dort ist allerdings in einer der ersten Zeilen ein
Fehler. Die korrekte Definition für die Bogenlänge
müsste lauten:
[mm] ds^2=dx^2+dy^2
[/mm]
Überdies ist jene Herleitung nicht ganz vollständig,
da sie die Existenz von y' und y'' voraussetzt, was
auch bei eigentlich differenzierbaren parametrisier-
ten Kurven nicht immer gewährleistet ist.
LG Al-Chw.
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