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Forum "Integrationstheorie" - Krümmung im 3-dim Raum
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Krümmung im 3-dim Raum: Kurven/Kurvenintegrale
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:10 Sa 19.09.2009
Autor: blumich86

Aufgabe
Gegeben sei die Kurve C mit der Paramterdarstellung

[mm] \vec{\phi}=\vektor{rcost \\ rsint \\ a*t}, [/mm] 0<=t<=unendlich, a>=0, r>0

Berechnen Sie die Krümmung k(s,r,a) von C


diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!

hallo zusammen,

ich muss die Krümmung dieser Kurve berechnen.
im internet habe ich die formel für die Krümmung im 3-dimensionalem-Raum gefunden:

[mm] k=|\overrightarrow{r}' [/mm] kreuz [mm] \overrightarrow{r}''|/ |\overrightarrow{r}'|^3 [/mm]

ich bin (grob)so vorgegangen: nachdem ich die parameterdarstellung zweimal abgeleitet habe, habe ich das kreuzprodukt bzgl der beiden ableitungen verwendet, und in betrag gesetzt. mein ergebnis sieht, wie folgt aus:

[mm] k(t)=...=r\wurzel{r^2+a^2}/ (\wurzel{r^2+a^2})^3 [/mm]

soo das eigentliche ergebnis muss aber [mm] r/(r^2+a^2) [/mm] sein, wo liegt also mein fehler?? kann ich einfach die wurzel wegkürzen?? [mm] =>r*(r^2+a^2)/ (r^2+a^2)^3= [/mm] r/ [mm] (r^2+a^2)^2 [/mm]
wenn ich das so mache gibt es das problem mit dem quadrat im nenner??
bitte helft mir!!!

        
Bezug
Krümmung im 3-dim Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Sa 19.09.2009
Autor: leduart

Hallo
[mm] a/a^3=1/a^2 \wurzel{a}/(\wurzel{a})^3=1/(\wurzel{a})^2=1/a [/mm]
Du bist wohl schon zu muede!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Krümmung im 3-dim Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:08 Sa 19.09.2009
Autor: blumich86

versteh ich nicht,
ich kann das garnicht nachvollziehen!!!
was muss man da jetzt machen??

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Bezug
Krümmung im 3-dim Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:33 Sa 19.09.2009
Autor: felixf

Hallo!

> versteh ich nicht,
>  ich kann das garnicht nachvollziehen!!!
>  was muss man da jetzt machen??

Leduart hat dir zwei Vereinfachungen aufgeschrieben:

1) [mm] $a/a^3 [/mm] = [mm] 1/a^2$ [/mm]

2) [mm] $\sqrt{a} [/mm] / [mm] \sqrt{a}^3 [/mm] = 1/a$

Im ersten Fall nimm [mm] $\sqrt{r^2 + a^2}$ [/mm] anstelle von $a$, im zweiten nimm [mm] $r^2 [/mm] + [mm] a^2$ [/mm] anstelle von $a$.

LG Felix




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Krümmung im 3-dim Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:46 Sa 19.09.2009
Autor: blumich86

verstehe ich das jetzt richtig??

[mm] r*(\wurzel{a^2+r^2}/(\wurzel{a^2+r^2})^3=r*(a^2+r^2)/(a^2+r^2)^2=r/(a^2+r^2) [/mm]  ???

kann das richtig sein?? ich habe da meine zweifel...

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Bezug
Krümmung im 3-dim Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:02 Sa 19.09.2009
Autor: leduart

Hallo
Falsch, du kannst doch nicht einfach ein Wurzelzeichen weglassen!
schreib statt [mm] \wurzel{a^2+r^2} (a^2+r^2^{1/2} [/mm]
Kannst du es dann?
Eine Wurzel ist doch einfach ein Ausdruck. wenn du einen Ausdruck durch denselben  [mm] Ausdruck^3 [/mm] teilst was kommt dann raus?
[mm] 1/Ausdruck^2 [/mm]   und das Quadrat einer Wurzel ist?
Gruss leduart

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Krümmung im 3-dim Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Sa 19.09.2009
Autor: blumich86

ich versuche es die ganze zeit aber ich komme nicht drauf...
bitte erlöst  mich nun endlich von dieser qual

Bezug
                                                        
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Krümmung im 3-dim Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Sa 19.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Blümchen,

Setze [mm] w:=\sqrt{r^2+a^2} [/mm]

Damit hast du   $\ k\ =\ [mm] r*w/w^3\ [/mm] =\ [mm] r/w^2\ [/mm] =\ ......$

LG


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Krümmung im 3-dim Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:41 Sa 19.09.2009
Autor: felixf

Hallo,

>  Falsch, du kannst doch nicht einfach ein Wurzelzeichen
> weglassen!

direkt falsch ist es nicht, die Gleichheitszeichen stimmen alle. Die Frage ist nur, wie blumich86 auf die Umformungen gekommen ist, da ist Skepsis wohl angebracht...

Eventuell hat er mit [mm] $\sqrt{a^2 + r^2}$ [/mm] den Bruch erweitert und dann etwas zusammengefasst?

LG Felix


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