Krümmung von x^3 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wo hat die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] ihre größte Krümmung?
Wie groß ist dort der Krümmungsradius?
Wer kann mir die Schritte zeigen die ich da gehen muß?
Mfg
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 12.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Patrick
die Krümmung [mm] $\kappa$ [/mm] berechnet sich ja bekanntlich so:
[mm] $\kappa(x)=\bruch{f(x)''}{(1+f' \, ^2(x))^{3/2}}$
[/mm]
davon musst du nur noch das Maximum bestimmen. Sprich: nach x ableiten und Null setzen.
Ich bekaomme so [mm] $x=\pm \bruch{1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Mit vielen Grüssen
Paul
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Hallo.
Unser Prof hat als Ergebnis für die größte Krümmung
[mm] \pm \wurzel[4]{\bruch{1}{45}} [/mm] vorgegeben und für den Krümmungsradius, der ja [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist, gibt er 0,567 vor.
Liegt er falsch oder rechnen wir falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Di 12.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Patrick
hast du die Rechnung denn gemacht?
Ich habe mich beim Ableiten der Krümmungsformel vertan. (Ich rechne immer von Hand)
Mein 2. Anlauf ist bereits näher gekommen. 
Mache also bitte die Rechnung nach meiner Formel und prüfe selber!
Mit vielen Grüssen
Paul
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Wenn ich in Deine Formel die Ableitungen einsetze bekomme ich:
[mm] \bruch{6x}{(1+(3x^{2})^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
das jetzt wiederum nach x differenziert ergibt:
[mm] \bruch{-6(45x^{4}-1)}{(9x^{4}+1)^{\bruch{5}{2}}}
[/mm]
das jetzt = null gesetzt und nach x aufgelöst ergibt bei mir:
[mm] \pm\bruch{5^{\bruch{3}{4}}*\wurzel{3}}{15}
[/mm]
und das ist nicht das ergebnis vom prof.
erklär mir wo mein fehler liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
> [mm]\bruch{-6(45x^{4}-1)}{(9x^{4}+1)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> das jetzt = null gesetzt und nach x aufgelöst ergibt bei
> mir:
>
> [mm]\pm\bruch{5^{\bruch{3}{4}}*\wurzel{3}}{15}[/mm]
Der Zähler muss gleich $0$ sein, also:
[mm] $45x^4-1=0$.
[/mm]
Naja, und das führt dann offenbar zu den behaupteten beiden Lösungen.
Edit: Deine Lösung ist übrigens die gleiche. Es gilt doch:
[mm] $\bruch{5^{\bruch{3}{4}}*\wurzel{3}}{15} [/mm] = [mm] \frac{5^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 5} [/mm] = [mm] 5^{-\frac{1}{4}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}} [/mm] = [mm] 5^{-\frac{1}{4}} \cdot 9^{- \frac{1}{4}} [/mm] = [mm] 45^{-\frac{1}{4}} [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{45} \right)^{\frac{1}{4}}$. [/mm]
Viele Grüße
Stefan
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Stimmt war mir auch gerade aufgefallen.
Aber wie komme ich auf den Krümmungsradius von 0,567, den der Prof angegeben hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Den sollte man dadurch erhalten, dass man [mm] $\left(\frac{1}{45}\right)^{\frac{1}{4}}$ [/mm] in die Krümmungsfunktion einsetzt und dann anschließend davon den Kehrwert bildet.
Scheint auch zu stimmen... 
Viele Grüße
Stefan
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Ich soll das in die [mm] x^{3} [/mm] einsetzen oder?
Kanns mal einer ausführlich hinschreiben?
Hat sich gerade erledigt.
Danke Euch.
gute nacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Du sollst es in die Krümmungsfunktion einsetzen, nicht in die Ausgangsfunktion [mm] $f(x)=x^3$.
[/mm]
Und dann den Kehrwert bilden...
Viele Grüße
Stefan
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