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Guten Tag zusammen,
ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe.
Ich weiß nämlich nicht genau, wie unser Prof auf seine Werte für die Splinefunktion gekommen ist.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Und dann hat er die Werte auch noch so schnell herausbekommen. Sodass wie dass gar nicht nachvollziehen konnten.
Naja wenn ich die Stetigkeit von S, S', S'' an den Stellen 1 und 2 bestimme, so bekomme ich nur folgende Lösungen heraus und folgende Gleichungen.
Also ich bekomme sofort die Werte für a1=1, [mm] a2=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] a3=\bruch{1}{4} [/mm] heraus.
Jedoch erhalte ich danach 6 Gleichungen.
[mm] b1+c1+d1=-\bruch{3}{4}
[/mm]
b2+c2+d2=0
b1+2c1+3d1=b2
b2+2c2+3d2=b3
2c1+2d1=2c2
2c2+6d2=2c3
Und selbst wenn ich nochmal die Variabeln ineinander einsetze bekomme ich auch keine eindeutige Lösung heraus.
I.b1+c1+d1=- [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
II.b1+3c1+3d1+d2=0
I-II.: [mm] d2=\bruch{3}{4}-2d1
[/mm]
Muss ich denn oder darf ich denn einen Paramter frei wählen? Aber dann würde ich ja nur durch Zufall auf die Werte meines Profs kommen.
Ich hab noch eine ganz andere Variante ausprobiert. Nämlich durch Aufstellen von 12 Gleichungen mit 12 Unbekannten.
Also ich hab für die 3 Zeilen jeweils immer S(0)=1, [mm] S(1)=\bruch{1}{4}, S(2)=\bruch{1}{4} [/mm] und S(3)=1.
Dabei kam ich aber auf folgende Werte. Also für a1, a2, a3 habe ich nach wie vor die Werte eingesetzt die ich anfangs rausbekam, dann erhielt ich folgende Werte.
d1=d2=d3=0, [mm] b1=-\bruch{9}{8}, c1=\bruch{3}{8}, b2=-\bruch{3}{8}, c2=\bruch{3}{8}, b3=c3\bruch{3}{8}
[/mm]
War zwar ein wenig aufwendiger aber so komme ich auch nicht auf die Werte meines Profs. Und wenn dass auf die Weise gehen würde, wäre dass mit der Stetigkeitsüberprüfung sinnlos, wenn man danach eh anders weiter rechnet.
Würd mich freuen, wenn jemand mir auf die schnelle erklärt, wie mein Prof auf seine Werte gekommen ist. Also auf [mm] \bruch{9}{10}, -\bruch{9}{20},\bruch{3}{20} [/mm] , [mm] \bruch{9}{20} [/mm] und [mm] -\bruch{3}{20}.
[/mm]
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Achja die Teilaufgabe dadrunter ist nicht von Wichtigkeit.
Da sollten wir nur den Wert an der Stelle für x=0,2 berechnen, und dass dann mit dem tatsächlichen Wert vergleichen.
Weil mein Matheprof gerne gemeine Funktionen nimmt, die wir dann ableiten müssen, würde ich jetzt noch gerne zusätzlich wissen, ob die Ableitung der Funktion, so lautet:
[mm] f'(x)=-2sin(\bruch{\pi}{3}x)*\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Danke.
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> Guten Tag zusammen,
>
> ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe.
> Ich weiß nämlich nicht genau, wie unser Prof auf seine
> Werte für die Splinefunktion gekommen ist.
> Datei-Anhang
>
> Und dann hat er die Werte auch noch so schnell
> herausbekommen. Sodass wir das gar nicht
> nachvollziehen konnten.
Welche Werte ? Alle die 12 Koeffizienten, die man
aus dem 12x12-Gleichungssystem berechnen muss ?
Die hat er sich wohl einfach vorher z.B. mit einem
CAS ausgerechnet ...
> Naja wenn ich die Stetigkeit von S, S', S'' an den Stellen
> 1 und 2 bestimme, so bekomme ich nur folgende Lösungen
> heraus und folgende Gleichungen.
> Also ich bekomme sofort die Werte:
> a1=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] a2=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] a3=\bruch{1}{4} [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Jedoch erhalte ich danach 6 Gleichungen.
>
> [mm]b1+c1+d1=-\bruch{3}{4}[/mm]
> b2+c2+d2=0
> b1+2c1+3d1=b2
> b2+2c2+3d2=b3
> 2c1+2d1=2c2
> 2c2+6d2=2c3
Dir ist offensichtlich nicht klar, wie man die
hier notwendigen Gleichungen aufstellt.
Die Funktion S ist ja aus drei kubischen Teil-
funktionen zusammengestückelt. Nennen wir
diese [mm] S_1, S_2 [/mm] und [mm] S_3:
[/mm]
$\ [mm] S_i(x)=a_i+b_i\,x+c_i\,x^2+d_i\,x^3$ [/mm] für [mm] x\in [/mm] [i-1 .... i]
Ableitungen:
$\ [mm] S_i'(x)=b_i+2\,c_i\,x+3\,d_i\,x^2$
[/mm]
$\ [mm] S_i''(x)=2\,c_i+6\,d_i\,x$
[/mm]
Die 12 Gleichungen ergeben sich aus:
(1) $\ [mm] S_1(0)=1\qquad\Rightarrow\quad a_1=1$ [/mm]
(2) $\ [mm] S_1(1)=\bruch{1}{4}\qquad\Rightarrow\quad a_1+b_1+c_1+d_1=\bruch{1}{4}$
[/mm]
(3) $\ [mm] S_2(1)=\bruch{1}{4}\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
(4) $\ [mm] S_2(2)=\bruch{1}{4}\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
(5) $\ [mm] S_3(2)=\bruch{1}{4}\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
(6) $\ [mm] S_3(3)=1\qquad\Rightarrow\quad a_3+3\,b_3+9\,c_3+27\,d_3=1$
[/mm]
(7) $\ [mm] S_1'(1)=S_2'(1)\qquad\Rightarrow\quad b_1+2\,c_1+3\,d_3=b_1+2\,c_1+3\,d_3$
[/mm]
(8) $\ [mm] S_2'(2)=S_3'(2)\qquad\Rightarrow\quad b_2+4\,c_2+12\,d_2=b_3+4\,c_3+12\,d_3$
[/mm]
(9) $\ [mm] S_1''(1)=S_2''(1)\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
(10) $\ [mm] S_2''(2)=S_3''(2)\qquad\Rightarrow\quad 2\,c_2+12\,d_2=2\c_3+12\,d_3$
[/mm]
(11) $\ [mm] S_1''(0)=0\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
(12) $\ [mm] S_3''(3)=0\qquad\Rightarrow\quad [/mm] .........$
Die Auflösung des Systems gibt natürlich einige
Arbeit, wenn man das von Hand machen will.
LG Al-Chwarizmi
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Hallo friendy,
ich habe mittlerweile das Gleichungssystem
mit Hilfe von ![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner gelöst.
Dann ist mir aber in deinem Manuskript noch
aufgefallen, dass die Polynome [mm] S_2 [/mm] und [mm] S_3
[/mm]
in der Form [mm] S_2(x)=f(x-1) [/mm] bzw. [mm] S_3(x)=g(x-2)
[/mm]
notiert sind. Das deutet daraufhin, dass wohl
gemeint war:
[mm] S_1(x)=a_1+b_1\,x+c_1\,x^2+d_1\,x^3
[/mm]
[mm] S_2(x)=a_2+b_2\,(x-1)+c_2\,(x-1)^2+d_2\,(x-1)^3
[/mm]
[mm] S_3(x)=a_3+b_3\,(x-2)+c_3\,(x-2)^2+d_3\,(x-2)^3
[/mm]
Dies führt dazu, dass man einfachere Gleichungen
bekommt. Vier der gesuchten Grössen erhält man
dann direkt, und es bleibt ein 8x8-System mit
kleinen Koeffizienten. Zum Lösen von Hand ist
es aber immer noch etwas sperrig. In der Praxis
bestimmt man Splinefunktionen natürlich mit
dazu geschaffenen Programmen.
Splines wurden 1946 von einem rumänischen
Mathematiker erfunden, der in Amerika wirkte,
wo gleichzeitig der allererste rein elektronische
Computer in Betrieb genommen wurde. Sowohl
der rumänische Mathematiker als auch der
Computer dienten der US-Army für ballistische
Berechnungen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Sa 04.07.2009 | | Autor: | friendy88 |
Ja das scheint alles ziemlich zeitaufwendig zu sein. Wir werden nächste Woche eine Mathearbeit schreiben und dass es nur eine Teilaufgabe von 7 Teilaufgaben für die wir nur insgesamt 120min Zeit haben.
Also könntest du mir nochmal erklären wie man dass dann zu Fuß macht. Aber warum waren denn alle meine Gleichungen falsch. Sonst hatte ich es auch immer richtig.
Naja...ich versuch mal gleich nochmal. Aber weiß noch nicht genau wo jetzt der haken liegt???
MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Sa 04.07.2009 | | Autor: | friendy88 |
Achso könntest du mir dann bitte nochmal zeigen, welches 8x8 System üpbrig bleibt. Hatte ich dass denn vielleicht schon??
Danke im Voraus.
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> Achso könntest du mir dann bitte nochmal zeigen, welches
> 8x8 System übrig bleibt. Hatte ich dass denn vielleicht
> schon?
Ich denke nicht, dass du das schon hattest.
Mit den Bezeichnungen
$\ [mm] S_1(x)=a+b\,x+c\,x^2+d\,x^3$
[/mm]
$\ [mm] S_2(u)=k+l\,u+m\,u^2+n\,u^3$ [/mm] (mit $\ u=x-1$)
$\ [mm] S_3(v)=p+q\,v+r\,v^2+s\,v^3$ [/mm] (mit $\ v=x-2$)
bin ich auf folgende Gleichungen gekommen:
(1) $\ [mm] S_1(0)=1\quad\Rightarrow\quad [/mm] a=1$
(2) $\ [mm] S_1(1)=\bruch{1}{4}\quad\Rightarrow\quad a+b+c+d=\bruch{1}{4}$
[/mm]
(3) $\ [mm] S_2(0)=\bruch{1}{4}\quad\Rightarrow\quad k=\bruch{1}{4}$
[/mm]
(4) $\ [mm] S_2(1)=\bruch{1}{4}\quad\Rightarrow\quad k+l+m+n=\bruch{1}{4}$
[/mm]
(5) $\ [mm] S_3(0)=\bruch{1}{4}\quad\Rightarrow\quad p=\bruch{1}{4}$
[/mm]
(6) $\ [mm] S_3(1)=1\quad\Rightarrow\quad [/mm] p+q+r+s=1$
(7) $\ [mm] S_1'(1)=S_2'(0)\quad\Rightarrow\quad b+2\,c+3\,d=l$
[/mm]
(8) $\ [mm] S_2'(1)=S_3'(0)\quad\Rightarrow\quad l+2\,m+3\,n=q$
[/mm]
(9) $\ [mm] S_1''(1)=S_2''(0)\quad\Rightarrow\quad 2\,c+6\,d=2\,m\quad\Rightarrow\quad c+3\,d=m$
[/mm]
(10) $\ [mm] S_2''(1)=S_3''(0)\quad\Rightarrow\quad 2\,m+6\,n=2\,r\quad\Rightarrow\quad m+3\,n=r$
[/mm]
(11) $\ [mm] S_1''(0)=0\quad\Rightarrow\quad 2\,c=0\quad\Rightarrow\quad [/mm] c=0$
(12) $\ [mm] S_3''(1)=0\quad\Rightarrow\quad 2\,r+6\,s=0\quad\Rightarrow\quad r+3\,s=0$
[/mm]
Wie schon gesagt, kann man 4 Werte (a,k,p,c)
sofort ablesen und in die übrigen Gleichungen
einsetzen. Die verbleibende Rechnerei - wenn
es denn "zu Fuß" gehen soll - überlasse ich
aber lieber dir. Und ich rechne einmal damit,
dass in der Klausur doch ein (noch) einfacheres
Beispiel kommen wird.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 So 05.07.2009 | | Autor: | friendy88 |
Danke. Hab jetzt erfahren dass wir die Gleichungen gar nicht zu Ende rechnen müssen. Das würde ansonsten etwas lange dauern.
Nur halt die Gleichungen aufstellen, sollten wir machen.
Aber trotzdem danke.
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