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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mi 10.01.2007 | | Autor: | kiffic |
hab eine frage; es gibt ja das gesetzt:
"Durch Gleichungen vom Typ [mm] x_{1}^{2}+ax_{1}+x_{2}^{2}+bx_{2}+x_{3}^{3}+cx_{3}+d=0
[/mm]
sind Kugeln im [mm] R^{3}"
[/mm]
wie lautet dabei die bedingung für a,b,c und d??
und vielleicht habt ihr ja auch ein kleines bsp dazu...
merci und vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 10.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin k,
> hab eine frage; es gibt ja das gesetzt:
>
> "Durch Gleichungen vom Typ
> [mm]x_{1}^{2}+ax_{1}+x_{2}^{2}+bx_{2}+x_{3}^{3}+cx_{3}+d=0[/mm]
> sind Kugeln im [mm]R^{3}"[/mm]
achso, ich gehe davon aus, dass du [mm] x_{3}^2 [/mm] gemeint hast *g*.
> wie lautet dabei die bedingung für a,b,c und d??
im prinzip lautet die allg. kugelgleichung:
[mm] (x+m_{x})^2 [/mm] + [mm] (y+m_{y})^2 [/mm] + [mm] (z+m_{z})^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
wobei [mm] x=x_{1}, y=x_{2}, z=x_{3} [/mm]
[mm] m_{x} [/mm] / [mm] m_{y} [/mm] / [mm] m_{z} [/mm] die koordinaten des mittelpunktes
und r dem Radius entspricht.
wenn du diese gleichung auspotenzierst und [mm] r^2 [/mm] auf die linke seite bringst
und das ergebnis soweit wie möglich zusammenfasst erhältst du "deine" form der kugelgleichung.
ich gehe davon aus, dass man über a,b,c,d nichts spezifisches sagen kann
außer, dass diese alle Element [mm] \IR [/mm] sind.
beispiel:
M (-3 / 2 / -4)
[mm] (x+3)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] + [mm] (z+4)^2 [/mm] = [mm] \bruch{25}{4}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] +6x +9 + [mm] y^2 [/mm] -4y +4 + [mm] z^2 [/mm] +8z +16 = [mm] \bruch{25}{4}
[/mm]
aha, es sieht so aus, als ob a, b und c
das Doppelte der jeweiligen Mittelpunktskoordinate multipliziert mit minus 1 ist.
a=6x => [mm] m_{x}= [/mm] -3 allg. a= [mm] 2*m_{x}*(-1) [/mm] usw.
b=-4y => [mm] m_{y}= [/mm] 2
c=8z => [mm] m_{z}= [/mm] -4
[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z +29 = [mm] \bruch{25}{4}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z [mm] +\bruch{116}{4} [/mm] - [mm] \bruch{25}{4} [/mm] =0
[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z [mm] +\bruch{91}{4} [/mm] =0
also wäre d hier
d= [mm] \bruch{91}{4}
[/mm]
wie gesagt, daraus kann man "rückwärts" den radius ausrechnen (indem man die binomischen ausdrücke mittels quadratischer ergänzung bildet), aber nicht direkt ablesen!
hilft das?
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 10.01.2007 | | Autor: | kiffic |
sieht sehr gut aus und ist auch schlüssig!
vielen dank
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