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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | x und y sind zwei verschiedene Elemente des Vektorraumes V über R und ||.|| ist eine Norm auf V.
Damit gilt
[mm] \overline{xy}:=\{x+t(x-y):t\in[0,1]\} [/mm] die Strecke von x nach y.
Sei nun [mm] s\in [/mm] [0,1] und r [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Berechnen Sie die Menge aller [mm] t\in[0,1] [/mm] so, daß der Punkt x+t(x-y) in der Kugel B(x+s(y-x),r) liegt. |
Hoi.
Habe hier leider keinen blaßen Schimmer.
Im Falle V= R² gilt [mm] $||x_1,x_2|| [/mm] = [mm] \sqrt{x_1^2+x_2^2}$
[/mm]
Soll ich x+t(x-y) < r nach x auflösen?Das bringt ja auch nix
oder folgendes rechnen x+s(y-x)=x+t(x-y). Hieraus folgt ja nur t=-s.
Ich bin ahnungslos
Mag vllt jemand meine gedanken in die richtige Richtung lenken :)
Gruß,
Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Di 08.05.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Geraden zwischen den Punkten x und y. Die Schnittpunkte der Kugel mit Radius r mit dieser Geraden berechnen sich zu
[mm] x+s(y-x)\pm{r}\br{y-x}{\parallel{y-x}\parallel}.
[/mm]
Die Punkte x+t(y-x) liegen also dann in der Kugel, wenn gilt
[mm] t\in\left[s-\br{r}{\parallel{y-x}\parallel},s+\br{r}{\parallel{y-x}\parallel}\right].
[/mm]
Da für t noch gelten muss [mm] t\in[0,1] [/mm] ist die Lösungsmenge
[mm] t\in\left[max\left(0,s-\br{r}{\parallel{y-x}\parallel}\right),min\left(1,s+\br{r}{\parallel{y-x}\parallel}\right)\right]
[/mm]
mfg ullim
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