Kugel aus Kugeln < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mathematik-forum.de/forum/newthread.php?do=newthread&f=21 |
Hallo,
ich habe eine Frage, die wahrscheinlich sehr einfach zu beantworten ist, leider habe ich keinen vernünftigen Einfall.
Gegeben sind lauter kleine Kugeln mit bekanntem Radius, die eine größere Kugel mit ebenfalls bekanntem Radius bilden. Dabei soll angenommen werden, dass die Kugeln sich berühren und so die große Kugel bilden. Wie kann ich die Anzahl der kleinen Kugeln berechnen, die die große Kugel enthält?
Einfache Division der beiden Volumina geht nicht, da ja die Kugeln (im Gegensatz zu Würfeln) Hohlräume haben, die ich dann nicht berücksichtigen würde.
Vielen Dank für gute Ideen!
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> ich habe eine Frage, die wahrscheinlich sehr einfach zu
> beantworten ist, leider habe ich keinen vernünftigen
> Einfall.
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> Gegeben sind lauter kleine Kugeln mit bekanntem Radius, die
> eine größere Kugel mit ebenfalls bekanntem Radius bilden.
> Dabei soll angenommen werden, dass die Kugeln sich berühren
> und so die große Kugel bilden. Wie kann ich die Anzahl der
> kleinen Kugeln berechnen, die die große Kugel enthält?
> Einfache Division der beiden Volumina geht nicht, da ja die
> Kugeln (im Gegensatz zu Würfeln) Hohlräume haben, die ich
> dann nicht berücksichtigen würde.
Dies ist keineswegs eine einfach zu beantwortende Frage !
Es handelt sich dabei sogar (wenn man an exakten Antworten
interessiert ist) um eines der lange ungelösten Probleme der
Geometrie (Kepler-Problem, dichteste Kugelpackungen).
Erst vor 10 Jahren wurde ein wichtiges Resultat über die
dichteste Kugelpackung im Raum bewiesen: Mit gleich grossen
Kugeln kann man den Raum höchstens mit der Dichte [mm] \bruch{\pi}{3*\wurzel{2}}
[/mm]
ausfüllen, also etwa zu 74% .
Ich weiss nicht, ob es für die Frage nach der Anzahl Kugeln
vom Radius r=1, die in einer Kugel vom Radius R>1 Platz haben,
allgemeine Ergebnisse gibt.
Du kannst aber für den Fall, dass R sehr gross gegenüber r ist,
wenigstens angenäherte Ergebnisse erhalten, wenn du das oben
angegebene Resultat anwendest.
Es kann aber durchaus auch interessant sein, Fälle mit relativ
kleinen R zu studieren !
Al-Chwarizmi
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