Kugel in Würfel... < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mo 12.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo alle zusammen,
ich häng mal wieder fest. Die Aufgabe mit der Skizze hab ich angehängt.
Bei mir hängts bei der a). Irgendwie bild ich mir ein,dass ich b) und c) hinkriegen würde, wenn ich erstmal a) geschafft hab. Aber ich bekomm es einfach nicht hin.
Wenn der Würfel die Kantenlänge a hat, hat die Kugel den radius 0,5a. Aber wie komm ich von dem Radius auf die Kantenlänge des nächsten Würfels??
Könnt ihr mir da nen kleinen Denkanstoß geben??
Bin für jeden Rat dankbar!
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Kati!
Schneide dieses Gebilde mal diagonal durch und zeichne Dir das auf.
Daraus sollte man erkennen, dass der Durchmesser (= 2-facher Radius) der Raumdiagonalen des nächstkleineren Würfels entspricht.
Mit dem Satz des Pythagoras erält man die Formel für die Raumdiagonale eines Würfels:
[mm] $d_{\text{Würfel}} [/mm] \ = \ [mm] a*\wurzel{3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 12.02.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, danke schön!
Aber ist dann die Kantenlänge des kleineren Würfels nicht [mm] \wurzel{0,5}*a [/mm] ??
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
Hallo Kati!
Meine Antwort oben war ja lediglich der allgemeine Ansatz von der Kugel auf den nächsten Würfel.
Wenn Du nun den Bezug zur Ausgangskantenlänge $a_$ meinst, sieht es folgendermaßen aus:
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ a$ (= Kantenlänge des 1. Würfels)
[mm] $r_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a$ [/mm] (= Radius der 1. Kugel)
[mm] $2*r_1 [/mm] \ = \ [mm] a_2*\wurzel{3}$ $\gdw$ $a_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*\blue{r_1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*\blue{ \bruch{1}{2}*a} [/mm] \ = \ ...$ (= Kantenlänge des 2. Würfels)
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 12.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Ui, ui, ui, das hab ich jetzt leider gar nicht verstanden! Aber so wirklich gar nicht!
bis zum Radius der 1.Kugel kann ich dir noch folgen.
Aber wieso ist bei dir der Durchmesser der Kugel nicht a? Weil 2* 0,5a= a
Steh irgendwie grad völlig aufm Schlauch....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 13.02.2007 | | Autor: | kati93 |
auch wenn die 24 Stunden schon abgelaufen sind, ich bin immer noch an einer Antwort interessiert 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 13.02.2007 | | Autor: | riwe |
> auch wenn die 24 Stunden schon abgelaufen sind, ich bin
> immer noch an einer Antwort interessiert
vielleicht liege ich ja auch falsch.
ich würde den würfel in einer seitenmitte durchschneiden,
und damit könnte ich mit folgendem dienen:
[mm] a_1=a, r_1=\frac{a}{2}
[/mm]
[mm] a_2=r_1\cdot\sqrt{2}=\frac{a}{2}\sqrt{2}\to q=\frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
und damit kann man alles gewünschte ausrechnen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mi 14.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich hab das leider immer noch nicht verstanden. Vielleicht stell ich mir das alles falsch vor???
Ich hab mal nen Querschnitt skizziert und eingescannt.
Vielleicht kannst du es mir anhand des Querschnitts nochmal genauer erklären. wie du da auf die kantenlänge des zweiten Würfels kommst.
Danke und Liebe Grüße,
Kati
Dein Ergebnis stimmt aber auf jeden Fall, habs bei meiner Skizze nachgemessen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mi 14.02.2007 | | Autor: | riwe |
hast ja eh alles richtig. nur die diagonale in DIESEM quadrat hättest noch rein malen müssen
dann siehst du, dass die neue seite [mm] a_2 [/mm] die seite eines quadrates mit der halben diagonale [mm] \frac{d}{2}=r_1 [/mm] ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 14.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Okay, dann hab ich das wenigstens richtig gezeichnet. Danke!
Aber ich versteh es einfach nicht.
Was mich verwirrt:
Der Durchmesser der ersten Kugel ist ja d=a
Also ist der Radius der ersten Kugel [mm] r_1=0,5a
[/mm]
Wenn ich jetzt aber ne Diagonale durch den 1. Würfel zieh, dann ist die Diagonale ja [mm] \wurzel{2}a.
[/mm]
Aber die halbe Diagonale ist doch nicht [mm] r_1,oder?
[/mm]
Anhand von meiner 2.Skizze kannst du ja erkennen,wie ich das gerechnet hätte. Ich hätte den Radius der 1.Kugel als eine Kathete genommen.
Ich weiss ja dass das Ergebnis dann nicht richtig ist. Aber ich VERSTEH einfach nicht warum ich das so NICHT machen kann????
Bin total am verzweifeln!!!!
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Deine zeichnung und die von rive sind falsch! Du hast den Würfel parallel zu einer Seitenfläche durchgeschnitten. dann stimmt der 1. kreis noch, aber der darin eingeschriebene Würfel nicht mehr, denn der hat seine Ecken nicht auf diem Kreis. Guck dir das nochmal auf deinem ersten Bild an!
Du musst den Wüerfel laengs einer seitendiagonale durchschneiden, damit dein Bild stimmt. der durchmesser der Kugel ist dann die RAUMDIAGONALE des Würfels,die hat die Länge [mm] \wurzel{3}*a [/mm] nicht [mm] \wurzel{2}*a.
[/mm]
Lies noch mal den post von roadrunner!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 14.02.2007 | | Autor: | riwe |
da sind wir uns ja eh einig. ich meine ja die diagonale des ZWETEN quadrates, die des 1. ist doch uninteressant.
also noch einmal exakt [mm] \frac{d_2}{2}=r_1=\frac{a}{2} [/mm] und damit
[mm] d_2=a_2\sqrt{2}\to a_2=a\frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 14.02.2007 | | Autor: | kati93 |
es tut mir echt leid, ich versteh es einfach nicht. Und nach der Korrekturmitteilung von leduart bin ich nur noch verwirrter. Was genau ist denn jetzt bei dir [mm] d_2? [/mm] Der Durchmesser der 1. Kugel?
Werd das jetzt nochmal versuchen neu zu zeichnen.
Liebe Grüße von der verblödeten Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo kati
man ist nicht glech bloed, wenns mal mit der 3d Vorstellung schief geht.
ich leg nochmal ein etwas gedrehtes bild vom Wuerfel in der kugel bei, damit du dir klar machst, dass der Durchmesser der Kugek die rote RAUMDIAGONALE ist und nicht die rosa Seitendiagonale,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 14.02.2007 | | Autor: | kati93 |
vielen lieben Dank!!!! Das hat es mir nochmal klar gemacht!!!
Danke für die große Mühe die du dir mit mir gemacht hast!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mi 14.02.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, ich habs jetzt anders gemacht. ich hab wirklich versucht mir das zu zeichnen, aber ich habs einfach nicht hinbekommen.
Ich bin dann einfach davon ausgegangen,dass es stimmt was ihr sagt , dass der Durchmesser der Kugel der Raumdiagonale des 2. Würfels entspricht (auch wenn ich das anhand der Skizze wie gesagt nicht erkennen kann).
Und dann hab ich noch nen großen Fehler bei mir entdeckt. Ich hab nicht die RAUMdiagonale berechnet, sondern die Seitendiagonale. Die Raumdiagonale ist natürlich [mm] \wurzel{3}a. [/mm] Ich denk das lag an der 2dimensionalen Zeichnung, dass ich das missachtet hab.
Nun ja,dann hab ich eigentlich genau das gemacht was roadrunner schon ganz am Anfang gemacht hat, nur dass ich es diesmal wirklich selbst verstanden hab. War ja im Prinzip auch nichts anderes als gleichsetzen, umformen und [mm] r_1 [/mm] einsetzen.
Mein Problem war einfach immer dass ich das mit der Diagonalen nicht verstanden hab und der rest für mich daher auch keinen sinn gemacht hat.
Nun gut, also [mm] a_2= \bruch{2}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{2}a
[/mm]
[mm] r_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{4}a
[/mm]
Dann hab ich Volumen und Oberflächeninhalt berechnet:
Würfel groß: [mm] V=a^3
[/mm]
[mm] O=6a^2
[/mm]
Würfel klein: [mm] V=(\bruch{2}{\wurzel{3}})^3*\bruch{1}{8}a^3
[/mm]
[mm] O=2a^2
[/mm]
Würfel noch kleiner (siehe Aufgabe c)) : [mm] V=0,037a^3
[/mm]
[mm] O=\bruch{2}{3}a^2
[/mm]
Kugel groß: [mm] V=\bruch{1}{6}\pi*a^3
[/mm]
[mm] O=\pi*a^2
[/mm]
Kugel klein: V= [mm] \bruch{1}{48}*\pi*\bruch{2}{\wurzel{3}}a^3
[/mm]
[mm] O=\bruch{1}{3}\pi*a^2
[/mm]
Kugel noch kleiner: [mm] V=0,0035a^3
[/mm]
[mm] O=\bruch{1}{9}\pi*a^2
[/mm]
Stimmt das so???
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:17 Do 15.02.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
alles richtig jetzt, nur ein paar sachen nicht so schoen.
vorallen solltest du kuerzen, wenn du kannst, und einfache Brueche nicht durch ungenaue dezimalzahlen ersetzen.
> Nun gut, also [mm]a_2= \bruch{2}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{2}a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier kuerzen a_2=\bruch{a}{\wurzel{3}
> [mm]r_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{4}a[/mm]
>
> Dann hab ich Volumen und Oberflächeninhalt berechnet:
>
> Würfel groß: [mm]V=a^3[/mm]
> [mm]O=6a^2[/mm]
>
> Würfel klein: [mm]V=(\bruch{2}{\wurzel{3}})^3*\bruch{1}{8}a^3[/mm]
wieder kuerzen [mm] V=\bruch{a^3}{3*\wurzel{3}}
[/mm]
> [mm]O=2a^2[/mm]
>
> Würfel noch kleiner (siehe Aufgabe c)) : [mm]V=0,037a^3[/mm] besser [mm] a^3/27 [/mm] oder [mm] a^3/3^3
[/mm]
>
> [mm]O=\bruch{2}{3}a^2[/mm]
>
>
> Kugel groß: [mm]V=\bruch{1}{6}\pi*a^3[/mm]
> [mm]O=\pi*a^2[/mm]
>
> Kugel klein: V=
> [mm]\bruch{1}{48}*\pi*\bruch{2}{\wurzel{3}}a^3[/mm]
> [mm]O=\bruch{1}{3}\pi*a^2[/mm]
>
> Kugel noch kleiner: [mm]V=0,0035a^3[/mm]
> [mm]O=\bruch{1}{9}\pi*a^2[/mm]
>
>
> Stimmt das so???
Ja, alles, nur wenn dus netter hinschreibst, sieht man besser dass die aufeinanderfolgenden Kugeln und Wuerfel immer ihr Volumen auf [mm] 1/(3*\wurzel{3}) [/mm] *dem naechst groesseren aendern und ihre Oberflaeche auf 1/3 der naechst groesseren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Do 15.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Super!! Vielen lieben Dank!
Ja, mich hat das optisch auch etwas gestört. Nur muss ich ehrlich zugeben,dass ich mir mit dem kürzen wegen der [mm] \wurzel{3} [/mm] ein bisschen unsicher war.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Do 15.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Moment, eine kleine Frage hab ich noch.
Wollt grad meine Ergebnisse kürzen, aber das eine bekomm ich nicht hin.
Es geht um das Volumen des kleinen Würfels:
Ich hatte ja :
[mm] V=(\bruch{2}{\wurzel{3}})^3* \bruch{1}{8}a^3
[/mm]
Aber ich bekomm das mit dem kürzen nicht so hin wie du, mach da irgendeinen Fehler.
Wenn ich das versuch zu kürzen:
V= [mm] \bruch{8}{(\wurzel{3})^3}* \bruch{1}{8}a^3
[/mm]
= [mm] \bruch{a^3}{(\wurzel{3})^3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo kati!
Es gilt ja: [mm] $\left( \ \wurzel{3} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{3} \ \right)^2*\left( \ \wurzel{3} \ \right)^1 [/mm] \ = \ [mm] 3*\wurzel{3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Do 15.02.2007 | | Autor: | kati93 |
ah, okay, jetzt ist es mir klar. Jetzt macht es sich richtig bemerkbar wenn man bei den grundlagen immer net aufgepasst hat....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:13 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
mit Schnitt durch die seitenmitten geht das nicht, weil die Raumdiagonale des inneren Wuerfels der Durchmesser der Kugel ist! Siehe raeumliche Zeichnung.
Gruss leduart
|
|
|
|
