Kugelfläche in Zylinder < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Vikow |
| Aufgabe | | Berechnung der Fläche einer Kugel innerhalb eines Zylinders (Kugel von Zylinder begrenzt). Der Mittelpunkt der Kugel ist unabhängig von der Zylinderachse oder einer Zylinderfläche. |
Hallo,
ich soll die o.g. Fragestellung lösen. Gesucht ist also die Fläche einer Kugel, welche von einem Zylinder begrenzt wird. Man kann sich das vorstellen, wie ein runder Ballon, der in einem Zylinder aufgeblasen wird.
Der Zylinder steht fest, die Kugel "breitet" sich aus. Zu jedem Zeitpunkt soll eine Berechnung der Oberfläche der Kugel möglich sein.
Das ganze soll als Software umgesetzt werden, also numerisch funktionieren.
Hat irgend jemand eine Idee, wie man an so etwas herangehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Di 29.07.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Andreas!
> Berechnung der Fläche einer Kugel innerhalb eines Zylinders
> (Kugel von Zylinder begrenzt). Der Mittelpunkt der Kugel
> ist unabhängig von der Zylinderachse oder einer
> Zylinderfläche.
> ich soll die o.g. Fragestellung lösen. Gesucht ist also
> die Fläche einer Kugel, welche von einem Zylinder begrenzt
> wird. Man kann sich das vorstellen, wie ein runder Ballon,
> der in einem Zylinder aufgeblasen wird.
>
> Der Zylinder steht fest, die Kugel "breitet" sich aus. Zu
> jedem Zeitpunkt soll eine Berechnung der Oberfläche der
> Kugel möglich sein.
>
> Das ganze soll als Software umgesetzt werden, also
> numerisch funktionieren.
Das ist doch kein Hexenwerk. Solange die Kugel noch frei schwebt, ist es einfach die Kugeloberfläche. Wenn ihr Radius größer als der Zylinderradius ist, setzt sich die Oberfläche aus einem Zylindermantel und 2 Kugelkalotten zusammen. Deren Abmessungen hängen über den Pythagoras zusammen, und für die einzelnen Flächen gibt es Formeln, z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Mit einer Planfigur müßtest du das leicht erkennen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Vikow |
Hallo Dieter,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe die Fragestellung wahrscheinlich zu einfach formuliert, denn ganz so simpel lässt sich das Problem leider nicht lösen.
Die Kugel schwebt nie frei, sie stößt immer an die Zylinderwände und ist eben auch ausmittig, d.h. es bildet sich keine einfache Kugelkappe aus, sondern eben ein Kugelteil der von einem Zylinder ausgeschnitten wurde.
Außerdem stößt die Kugel zu einem späteren Zeitpunkt dann an eine (ggf. geformte) Zylinderunterseite, d.h. es wird noch mehr von der Kugelweggeschnitten.
Deswegen suche ich nach einer numerischen Lösung zur Berechnung einer beliebigen (Teil-)Kugeloberfläche.
Evtl. aus dem FEM-Bereich?
Ich habe leider noch nichts passendes gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 30.07.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe die
> Fragestellung wahrscheinlich zu einfach formuliert, denn
> ganz so simpel lässt sich das Problem leider nicht lösen.
Nee, ich habe nicht genau hingeguckt (Wer lesen kann, ist eben immer im Vorteil.) und bin von symmetrischer Lage ausgegangen. Ob man dein Problem mit einer 'geschlossenen' Formel lösen kann, weiß ich nicht. Da gehen ja Zylinderradius, Kugelradius und Abstand des Kugel-MPs von der Zylinderachse ein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hallo Dieter,
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> erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe die
> Fragestellung wahrscheinlich zu einfach formuliert, denn
> ganz so simpel lässt sich das Problem leider nicht lösen.
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> Die Kugel schwebt nie frei, sie stößt immer an die
> Zylinderwände und ist eben auch ausmittig, d.h. es bildet
> sich keine einfache Kugelkappe aus, sondern eben ein
> Kugelteil der von einem Zylinder ausgeschnitten wurde.
>
> Außerdem stößt die Kugel zu einem späteren Zeitpunkt dann
> an eine (ggf. geformte) Zylinderunterseite, d.h. es wird
> noch mehr von der Kugelweggeschnitten.
>
> Deswegen suche ich nach einer numerischen Lösung zur
> Berechnung einer beliebigen (Teil-)Kugeloberfläche.
> Evtl. aus dem FEM-Bereich?
Ist FEM nicht zu allgemein, zu unspezifisch für Dein Problem? FEM berücksichtigt ja nicht, dass Du den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks alleine aufgrund der Kenntnis der Eckpunkte exakt bestimmen kannst und für dessen Flächeninhalt keine weiteren Näherungen benötigst.
Indem Du die Durchstosspunkte geeigneter Mantellinien des Zylinders mit der Kugel bestimmst, könntest Du ein schrittweise immer besser die Randlinie des Kugelflächenstücks approximierendes "sphärisches Polygon" bestimmen. Beim Verfeinern dieses sphärischen Polygons muss der bereits bestimmte Teil der Fläche nicht neu berechnet werden: es kommen einfach weitere, zunehmend keiner werdende sphärische Dreiecke dazu, die durch zwei benachbarte Eckpunkte des vorhergehenden sphärischen Polygons und einem neu dazwischenligenden Punkt gebildet werden. Die Mantellinien des Zylinders würde ich von der Zylinderachse gesehen unter gleichem Winkel wählen und z.B. beim nächsten Schritt der Approximation diesen Winkel halbieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Vikow |
...nochmal ergänzend:
Die Kugel ist als kein einfacher Kugelabschnitt, den man einfach berechnen kann, sondern wird ausmittig von einem Zylinder mit ganz anderem Radius abgeschnitten (die Grundfläche des Kugelsegmentes ist also nicht kreisförmig).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mi 30.07.2008 | | Autor: | LazaruZ |
hast du es schon mal mit einem elipsoiden probiert? der ist ja im idealfall eine kugel und könnte m.e. auch einen zylinder ausfüllen.
gruß laza
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hallo Andreas,
Habe ich die Aufgabe richtig verstanden, wenn ich sie so formuliere:
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kugeloberfläche S und ein Vollzylinder Z
in beliebiger gegenseitiger Lage.
Berechne den Flächeninhalt von S [mm] \cap [/mm] Z . |
Hat der Zylinder eine endliche Höhe oder ist er beidseitig unbegrenzt ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Vikow |
- der Zylinder ist oben und unten begrenzt, aber nicht mich einer ebenen Fläche sondern ggf. mit Ausbuchtungen oder schräg zur Zylinderwand
- die Zylindergeometrie ist bekannt
- das (Kugel)volumen (Volumen des Ausschnittes) ist bekannt, nicht aber die Schnittpunkte mit den Zylinderwänden
- die Kugelfläche ist gesucht
Es wird nicht mit einer einfachen Formel abzuhaken sein, es ist eine technische Aufgabe und keine idealisierte Schulaufgabe.
Mir wäre sehr geholfen, wenn jemand ein numerisches Verfahren kennt, um per Software beliebige Teilflächen errechnen zu können.
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Darf man also davon ausgehen, dass für die Beschreibung
der Geometrie eine Funktion [mm] Z(\theta,\varphi) [/mm] existiert mit
[mm] Z(\theta,\varphi)=\begin{cases} 1, & \mbox{für }P(\theta,\varphi)\mbox{ innerhalb des Zylinders} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
[mm] (\theta,\varphi [/mm] Kugelkoordinaten auf S)
Dann müsste es möglich sein, die gesuchte Fläche durch
numerische Integration von
[m]\integral_{\theta=0}^{\pi} \integral_{\varphi=0}^{2\pi} Z(\theta,\varphi)*dS[/m]
zu ermitteln. Dabei ist [mm] dS=R^2*sin(\theta)*d\varphi*d\theta [/mm] das Flächenelement in Kugelkoordinaten.
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