Kugelgleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo. ich weiß nicht genau ob das hier genau die richtige rubrik ist deshalb bitte ich die moderatoren den thread in ein anderes forum zu stellen, falls es hier falsch ist.
nun zu meiner frage: ich muss ein Gleichungssystem mit vier Kugelgleichungen lösen, welches 4 variablen beinhaltet. kann man dieses gleichungssystem überhaupt lösen und wenn ja wie?? ich bin für jede antwort dankbar. hier mal die 4 gleichungen:
[mm] R1^2 [/mm] = (Xpr1 + [mm] k)^2 [/mm] = (x [mm] xs1)^2 [/mm] + (y [mm] ys1)^2 [/mm] + (z [mm] zs1)^2
[/mm]
[mm] R2^2 [/mm] = (Xpr2 + [mm] k)^2 [/mm] = (x [mm] xs2)^2 [/mm] + (y [mm] ys2)^2 [/mm] + (z [mm] zs2)^2
[/mm]
[mm] R3^2 [/mm] = (Xpr3 + [mm] k)^2 [/mm] = (x [mm] xs3)^2 [/mm] + (y [mm] ys3)^2 [/mm] + (z [mm] zs3)^2
[/mm]
[mm] R4^2 [/mm] = (Xpr4 + [mm] k)^2 [/mm] = (x [mm] xs4)^2 [/mm] + (y [mm] ys4)^2 [/mm] + (z [mm] zs4)^2
[/mm]
wobei k, x,y und z die unbekannten variablen sind
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo tobi2487,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo. ich weiß nicht genau ob das hier genau die richtige
> rubrik ist deshalb bitte ich die moderatoren den thread in
> ein anderes forum zu stellen, falls es hier falsch ist.
>
> nun zu meiner frage: ich muss ein Gleichungssystem mit vier
> Kugelgleichungen lösen, welches 4 variablen beinhaltet.
> kann man dieses gleichungssystem überhaupt lösen und wenn
> ja wie?? ich bin für jede antwort dankbar. hier mal die 4
> gleichungen:
> [mm]R1^2[/mm] = (Xpr1 + [mm]k)^2[/mm] = (x [mm]xs1)^2[/mm] + (y [mm]ys1)^2[/mm] + (z
> [mm]zs1)^2[/mm]
> [mm]R2^2[/mm] = (Xpr2 + [mm]k)^2[/mm] = (x [mm]xs2)^2[/mm] + (y [mm]ys2)^2[/mm] + (z
> [mm]zs2)^2[/mm]
> [mm]R3^2[/mm] = (Xpr3 + [mm]k)^2[/mm] = (x [mm]xs3)^2[/mm] + (y [mm]ys3)^2[/mm] + (z
> [mm]zs3)^2[/mm]
> [mm]R4^2[/mm] = (Xpr4 + [mm]k)^2[/mm] = (x [mm]xs4)^2[/mm] + (y [mm]ys4)^2[/mm] + (z
> [mm]zs4)^2[/mm]
>
> wobei k, x,y und z die unbekannten variablen sind
>
Lösbar ist das schon. Lösen kann man das mit dem Newton-Verfahren im [mm]\IR^4[/mm].
Nähere dazu die Funktionen
[mm]
\begin{gathered}
f_1 \left( {k,x,y,z} \right)\; = \;\left( {Xpr_1 \; + \;k} \right)^2 \; - \;\left( {x\; - \;xs_1 } \right)^2 \; - \;\left( {y\; - \;ys_1 } \right)^2 \; - \left( {z\; - \;zs_1 } \right)^2 \hfill \\
f_2 \left( {k,x,y,z} \right)\; = \;\left( {Xpr_2 \; + \;k} \right)^2 \; - \;\left( {x\; - \;xs_2 } \right)^2 \; - \;\left( {y\; - \;ys_2 } \right)^2 \; - \left( {z\; - \;zs_2 } \right)^2 \hfill \\
f_3 \left( {k,x,y,z} \right)\; = \;\left( {Xpr_3 \; + \;k} \right)^2 \; - \;\left( {x\; - \;xs_3 } \right)^2 \; - \;\left( {y\; - \;ys_3 } \right)^2 \; - \left( {z\; - \;zs_3 } \right)^2 \hfill \\
f_4 \left( {k,x,y,z} \right)\; = \;\left( {Xpr_4 \; + \;k} \right)^2 \; - \;\left( {x\; - \;xs_4 } \right)^2 \; - \;\left( {y\; - \;ys_4 } \right)^2 \; - \left( {z\; - \;zs_4 } \right)^2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
durch ihre Tangentialebenen und setze diese gleich 0
Mit
[mm]
\begin{gathered}
\Delta k\; = \;k_{n + 1} \; - \;k_n \hfill \\
\Delta x\; = \;x_{n + 1} \; - \;x_n \hfill \\
\Delta y\; = \;y_{n + 1} \; - \;y_n \hfill \\
\Delta z\; = \;z_{n + 1} \; - \;z_n \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
entsteht ein lineares Gleichungssystem
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta k}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta x}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta y}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta z}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta k}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta x}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta y}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta z}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{\frac{{\delta f_3 }}
{{\delta k}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_3 }}
{{\delta x}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_3 }}
{{\delta y}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_3 }}
{{\delta z}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{\frac{{\delta f_4 }}
{{\delta k}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_4 }}
{{\delta x}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_4 }}
{{\delta y}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} & {\frac{{\delta f_4 }}
{{\delta z}}\left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\Delta k} \\
{\Delta x} \\
{\Delta y} \\
{\Delta z} \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - f_1 \left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{ - f_2 \left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{ - f_3 \left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
{ - f_4 \left( {k_j ,\;x_j ,\;y_j ,\;z_j } \right)} \\
\end{array} } \right)[/mm]
,welches iterativ zu lösen ist.
Andere Möglichkeit:
Subtrahiere zwei Gleichungen voneinander und ermittle daraus den Parameter k, dieser hängt jetzt von x,y und z ab. Dieses k setzt Du nun in die anderen Gleichungen ein. Es entsteht, wie ich finde ein etwas unschöner Ausdruck.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:35 Sa 03.12.2005 | | Autor: | tobi22487 |
vielen dank schon mal für die schnelle antwort. ich möchte das zweite verfahren mit der subtraktion nehmen. wennmich nicht alles täuscht werde ich mich doch aber im kreis drehen, wenn ich nach k auflöse und in die anderen gleichungen einsetze . die einzelnen variablen sind doch immer wieder in den anderen enthalten. ich habe nun die gleichungen mal von einander subtrahiert und etwas vereinfacht:
2x( x2 - x1) + 2y( y2 - y1) + 2z( z2 - z1) - 2 L(pr1 -pr2 ) = - [mm] x1^2 +x2^2- y1^2 [/mm] + [mm] y2^2- z1^2 [/mm] + [mm] z2^2+ (pr1)^2 [/mm] - [mm] (pr2)^2
[/mm]
2x( x3 - x1) + 2y( y3 - y1) + 2z( z3 - z1) - 2 L(pr1 pr3 ) = - [mm] x1^2 +x3^2- y1^2 [/mm] + [mm] y3^2- z1^2 [/mm] + [mm] z3^2+ (pr1)^2 [/mm] - [mm] (pr3)^2
[/mm]
2x( x4 - x1) + 2y( y4 - y1) + 2z( z4 - z1) - 2 L(pr1 pr4 ) = - [mm] x1^2 +x4^2- y1^2 [/mm] + [mm] y4^2- z1^2 [/mm] + [mm] z4^2+ (pr1)^2 [/mm] - [mm] (pr4)^2
[/mm]
2x( x3 - x2) + 2y( y3 y2) + 2z( z3 z2) - 2 L(pr2 pr3 ) = - [mm] x2^2 +x3^2- y2^2 [/mm] + [mm] y3^2- z2^2 [/mm] + [mm] z3^2+ (pr2)^2 [/mm] - [mm] (pr3)^2
[/mm]
ist das möglich dieses system nun mit hilfe einer vierreihigen determinante zu lösen?? und wenn ja wie??
ich bin für jeden hinweis dankbar.
|
|
|
|
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
.
