Kugelkondensator Kapazität < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die untere Abbildung zeigt einen Kugelkondensator, der mit zwei Dielektrika beschichtet
ist (Bereich 1: [mm] r_{1}\le r\le r_{2} [/mm] mit [mm] \varepsilon_{r1} [/mm] und Bereich 2: [mm] r_{2}\le r\le r_{3} [/mm] mit [mm] \varepsilon_{r2}).
[/mm]
Die Anordnung trägt die Ladung Q und zwischen den Elektroden liegt die Spannung U.
Berechnen Sie allgemein und Zahlenmäßig die Gesamtkapazität der Anordnung. |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben sind [mm] r_{1}=1cm, r_{2}=3cm, r_{3}=9cm, \varepsilon_{1}=6, \varepsilon_{2}=1 [/mm] und [mm] \varepsilon_{0}=8.854*10^{-12} \bruch{As}{Vm}
[/mm]
Würd gern wissen ob meine Rechnungen soweit stimmen.
Also nach dem Gaußschen Gesetz ist ja
[mm] Q=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{D^{\to} da^{\to}}} [/mm] also gleich
[mm] Q=D_{1}A_{1}+D_{2}A_{2}, [/mm] da [mm] D=\varepsilon*E
[/mm]
ist [mm] Q=E(\varepsilon_{1}A_{1}+\varepsilon_{2}A_{2})
[/mm]
[mm] Q=E*(6A_{1}+A_{2})
[/mm]
Hier teile ich E in zwei teile ein
[mm] E_{1}=\bruch{Q}{24\pi r^{2}} [/mm] für [mm] r_{1} \le [/mm] r [mm] \le r_{2}
[/mm]
[mm] E_{2}=\bruch{Q}{24\pi r_{2}^{2}}+\bruch{Q}{4\pi (r-r_{2})^{2}} [/mm] für [mm] r_{2} \le [/mm] r [mm] \le r_{3}
[/mm]
Daraus errechne ich [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}
[/mm]
[mm] U_{1}=\bruch{Q}{24 \pi \varepsilon_{0}}*\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{r^{2}} dr}=\bruch{Q}{24\pi \varepsilon_{0}}*(1-\bruch{1}{3})=\bruch{Q}{36\pi \varepsilon_{0}}
[/mm]
[mm] U_{2}=\bruch{Q}{36\pi \varepsilon_{0}}+\bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}*\integral_{3}^{9}{\bruch{1}{(r-r_{2})^{2}} dr}=\bruch{Q}{36\pi \varepsilon_{0}}+\bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{0}}*(\bruch{1}{3}*r^{2}-3r^{2}+9r) I_{3}^{9}=\bruch{Q}{32\pi \varepsilon_{0}}
[/mm]
Daraus berechne ich nun [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] mit [mm] C=\bruch{Q}{U}
[/mm]
[mm] C_{1}=Q*\bruch{4 \pi \varepsilon_{0}}*(\bruch{1}{r_{2}}-\bruch{1}{r_{3}})
[/mm]
[mm] C_{1}=18 \pi \varepsilon_{0}
[/mm]
[mm] C_{2}=Q*\bruch{ \pi \varepsilon_{0}}*(\bruch{1}{r_{1}}-\bruch{1}{r_{2}})
[/mm]
[mm] C_{1}=36 \pi \varepsilon_{0}
[/mm]
Die Gesamtkapazität ist [mm] C_{ges}=(\bruch{1}{C_{1}}+\bruch{1}{C_{2}})^{-1}
[/mm]
[mm] C_{ges}=3,33 *10^{-10} [/mm] F
Würde mich freuen wenn ihr mich auf eventuelle Fehler aufmerksam machen würdet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 28.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die untere Abbildung zeigt einen Kugelkondensator, der mit
> zwei Dielektrika beschichtet
> ist (Bereich 1: [mm]r_{1}\le r\le r_{2}[/mm] mit [mm]\varepsilon_{r1}[/mm]
> und Bereich 2: [mm]r_{2}\le r\le r_{3}[/mm] mit [mm]\varepsilon_{r2}).[/mm]
> Die Anordnung trägt die Ladung Q und zwischen den
> Elektroden liegt die Spannung U.
>
> Berechnen Sie allgemein und Zahlenmäßig die Gesamtkapazität
> der Anordnung.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Gegeben sind [mm]r_{1}=1cm, r_{2}=3cm, r_{3}=9cm, \varepsilon_{1}=6, \varepsilon_{2}=1[/mm]
> und [mm]\varepsilon_{0}=8.854*10^{-12} \bruch{As}{Vm}[/mm]
>
> Würd gern wissen ob meine Rechnungen soweit stimmen.
>
> Also nach dem Gaußschen Gesetz ist ja
>
> [mm]Q=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{D^{\to} da^{\to}}}[/mm] also
> gleich
> [mm]Q=D_{1}A_{1}+D_{2}A_{2},[/mm] da [mm]D=\varepsilon*E[/mm]
Da verstehe ich nicht, was du meinst. Der Gaußsche Satz ist der richtige Ansatz, aber was sind die beiden Flächen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] und wieso addierst du sie? Die Kugel in der Mitte trägt die Ladung Q. Wenn du über eine beliebige geschlossene Fläche zwischen den beiden Elektroden integrierst, ist das Ergebnis also gleich Q.
Viele Grüße
Rainer
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Also, wir sollen von der Ladung Q auf D auf E auf U und letztlich auf C schließen.
Die Flächen [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] sind die Kugeloberflächen, [mm] A_{1} [/mm] ist die Kugel, die das Dielektrikum [mm] \varepsilon_{1} [/mm] umschließt und [mm] A_{2} [/mm] die gesamte Kugel.
Wenn Gauß der richtige Ansatz ist, kannst du mir dann vielleicht nen Tip geben wie ich von da weiter machen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Mit Hilfe der Größen, die Du bereits angegeben hast, kommst Du wirklich auf die Gesamtkapazität. Der erste Schritt besteht darin, die elektrische Erregung über
$$ [mm] \int [/mm] D [mm] \cdot [/mm] dA = Q $$ zu bestimmen, hieraus bekommt man dann unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Dielektrika auch die Feldstärke E. Diese in Richtung des Radiusses integriert, ergibt die Spannung zwischen den beiden Elektroden,
$$ u = [mm] \int [/mm] E [mm] \cdot [/mm] dr $$
Die Kapzität ergibt sich dann durch
$$ C = [mm] \bruch{Q}{u} \, [/mm] . $$
Das Ganze ist recht straight-ahead zu lösen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Ok, die Rechenschritte sind mir soweit klar.
Mein einziges Problem besteht jetzt noch in der Elektrischen Feldstärke E.
Durch das Integral bekomme ich ja [mm] D=\bruch{Q}{4\pi r^{2}}
[/mm]
nun ist [mm] D=\varepsilon [/mm] *E
also ist [mm] E=\bruch{Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, wie ich das rechnen, bzw. wie ich welches Dielektrikum (denn ich habe ja zwei) gewichte. In vorherigen Aufgaben haben wir das je nach Anteil an der Kugeloberfläche gewichtet, aber hier haben wir ja im Prinzip zwei verschiedene Kugeln mit unabhängigen Oberflächen.
Vielen Dank schonmal für weitere Lösungsansätze.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, die Rechenschritte sind mir soweit klar.
>
> Mein einziges Problem besteht jetzt noch in der
> Elektrischen Feldstärke E.
>
> Durch das Integral bekomme ich ja [mm]D=\bruch{Q}{4\pi r^{2}}[/mm]
>
> nun ist [mm]D=\varepsilon[/mm] *E
>
> also ist [mm]E=\bruch{Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt, wie ich das rechnen, bzw. wie ich
> welches Dielektrikum (denn ich habe ja zwei) gewichte. In
> vorherigen Aufgaben haben wir das je nach Anteil an der
> Kugeloberfläche gewichtet, aber hier haben wir ja im
> Prinzip zwei verschiedene Kugeln mit unabhängigen
> Oberflächen.
Deine Formeln sind richtig. Die Feldstärke in einem Punkt ergibt sich, in dem du D durch das in diesem Punkt gültige [mm] $\varepsilon$ [/mm] dividierst. Das heisst: Im Bereich des Dielektrikums 1 ist
[mm] E=\bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{r1} r^{2}}[/mm]
und im Bereich des Dielektrikums 2 ist
[mm] E=\bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{r2} r^{2}}[/mm]
Zusammen:
[mm] E= \begin{cases} \bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{r1} r^{2}} & r_1< r< r_2 \\
\bruch{Q}{4\pi \varepsilon_{r2} r^{2}}& r_2< r< r_3 \\
0 & r_3< r \end{cases} [/mm]
Die Feldstärke hat an der Grenzfläche zwischen den beiden Dielektrika einen Sprung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 So 30.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Ok, vielen Dank. Mit diesen Ansätzen kann ich das lösen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 04.02.2010 | | Autor: | kappen |
Ich habe hierzu eine Frage, angenommen ich habe nun meine E-Felder und somit auch die Spannung in den Bestimmten Intervallen bestimmt. Wie komme ich denn jetzt auf die Gesamtkapazität? Rechne ich die auch für jeden Bereich einzeln aus und betrachte das dann wie eine Reihen oder Parallelschaltung, oder was mache ich?
Danke & Schöne Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
Hi kappen,
$C [mm] \cdot \summe U_{i}=Q=const.$
[/mm]
Stelle die Beziehung so um, dass die Konstante im Nenner steht.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Das dürfte Deine Fragen beantworten.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 04.02.2010 | | Autor: | kappen |
Besten Dank. Q ist dabei dann die Gesamtladung nach außen hin? Also falls ich auf meiner inneren Schale +2Q, auf der mittleren -Q und auf der äußeren +Q habe, so habe ich +2Q für die Gleichung oder nur +1Q?
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
> Besten Dank. Q ist dabei dann die Gesamtladung nach außen
> hin?
Hey, was soll das sein ?: "Gesamtladung nach außen" ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
"Die Anordnung trägt die Ladung Q und zwischen den Elektroden liegt die Spannung U. "
(aus Aufgabenstellung)
Ciao Calli
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:44 Do 04.02.2010 | | Autor: | kappen |
aaah entschuldige. Ich hatte eine ähnliche Aufgabe, aber nicht die gleiche, bei mir befinden sich noch Ladungen auf den Kugelschalen, so in etwa:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das D Feld ist dabei radialsymmetrisch. Die innere Kugel ist luftleer.
Ich frage mich hierbei, wie ich die Ladungen in meine E-Feld-Teilintervalle einbaue.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
> aaah entschuldige. Ich hatte eine ähnliche Aufgabe, aber
> nicht die gleiche, bei mir befinden sich noch Ladungen auf
> den Kugelschalen, so in etwa:
> ...
Hallo kappen,
dann ist es wohl mehr als schlecht, sich an einen über ein Jahr alten Thread anzuhängen.![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich empfehle Dir, für diese Aufgabe einen neuen Thread aufzumachen !
Ciao Calli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 04.02.2010 | | Autor: | kappen |
Jops werde ich machen. Dachte es sei zweckmäßig, diesen Thread zu benutzen, da der Inhalt doch sehr ähnlich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Do 04.02.2010 | | Autor: | GvC |
Wo dieser alte Thread nun doch nochmal aufgemacht wurde und manch einer daraus lernen möchte, will ich nur anmerken, dass rainerS in seine Antwort einen zwar verständlichen, nichtsdestoweniger gravierenden Fehler eingebaut hat: In seinen Feldstärkeangaben fehlt die absolute Permittivität [mm] \varepsilon_0 [/mm] im Nenner. Sonst würde das schon dimensionsmäßig nicht hinkommen.
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