Kugelkoord. Ableitung n. Karte < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 23.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Die Kugelkoordinaten sind so definiert:
x = r*sin(a)*cos(b)
y = r*sin(a)*sin(b)
z = r*cos(a)
z.B. die Ableitung von [mm] \bruch{dz}{da} [/mm] ist -r*sin(a) - trivial.
Ich in meinem Skribt steht nun (es geht ursprünglich um die Herleitung des Laplace Operators, was mir vom Konzept her auch klar ist) dass
[mm] \bruch{da}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{-sin(a)}{r} [/mm]
Offensichtlich kann ich nicht einfach die Ableitung [mm] \bruch{dz}{da} [/mm] umstellen um die Ableitung [mm] \bruch{da}{dz} [/mm] zu erhalten. Ist mir eigentlich Intuitiv klar. Auch das das geteilt durch r stehen muss ist klar wenn man sich eine Skizee macht. Jedoch kann ich das Ergebnis einfach nicht herleiten, weder durch mathematische Umformungen, noch durch eine Skizze indem ich mit trigonometrie versuche das infinitesimale Element zu berechnen.
Umformungsversuche:
z = r*cos(a)
a = [mm] cos^{-1}(\bruch{z}{r})
[/mm]
[mm] \bruch{da}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{r^{2} - z^{2}}}, [/mm] für r > 0
setzt man für z = r*cos(a) ein folgt schliesslich:
[mm] \bruch{da}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{r*sin(a)} [/mm] was dann wieder falsch wäre......
Ich häng da seitner ewigkeit fest!
Hoffe aufnen Tipp.
Gruss
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem "Skribt" ist ein Druckfehler, kein Wunder, da es ja auch kein Skript ist sondern "SKRIBT – Schutz kritischer Brücken und Tunnel"
Dein hergeleiteter Ausdruck ist richtig,
Gruss leduart
Edit: Das ist Unsinn siehe die wieteren posts, die klüger sind als ich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 23.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
... ja ich habe Rechtschreipefehler dann auch noch erkannt...^^
Aber mir ists leider immer noch nicht klar weil da ne ganze Tabelle dann falsch sein muss.
Es steht im Skribt->
"Um die Transformation des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten durchzuführen brauchen wir folgende Tabelle:"
[mm] \bruch{\partial r}{\partial z} [/mm] = cos(a),
[mm] \bruch{\partial r}{\partial y} [/mm] = sin(a)*sin(b),
...
[mm] \bruch{\partial a}{\partial z} [/mm] = [mm] \bruch{-sin(a)}{r},
[/mm]
...
[mm] \bruch{\partial b}{\partial z} [/mm] = 0 - Diese Gleichung leuchtet mir ein!
Hier im Skribt hat es auch noch ein Beispiel zur [mm] \bruch{\partial b}{\partial y}, [/mm] es steht dann:
"Wir leiten [mm] \bruch{\partial b}{\partial y} \equiv \partial_{y}b [/mm] explizit ab:"
[mm] \partial_{y}b [/mm]
= [mm] \partial_{y}*tan(b)*\bruch{1}{\partial_{y}*tan(b)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}*cos(b)^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{r*sin(a)*sin(b)}*cos(b)^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{r}*\bruch{cos(b)}{sin(a)}
[/mm]
Irgendwie versteh ich da was falsch...? Vielleicht ist das partial was anderes hier?
Wir haben da eben nicht in der Vorlesung durchgenommen, es ging im Prinzip nur um die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten...aber eben...ich kapiere nicht was man hier macht...und mein blöder(!) Assistent hats auch nicht gewusst was da passiert. Es nervt mich.
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Hallo qsxqsx,
> ... ja ich habe Rechtschreipefehler dann auch noch
> erkannt...^^
>
> Aber mir ists leider immer noch nicht klar weil da ne ganze
> Tabelle dann falsch sein muss.
>
> Es steht im Skribt->
> "Um die Transformation des Laplaceoperators in
> Kugelkoordinaten durchzuführen brauchen wir folgende
> Tabelle:"
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial z}[/mm] = cos(a),
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial y}[/mm] = sin(a)*sin(b),
> ...
> [mm]\bruch{\partial a}{\partial z}[/mm] = [mm]\bruch{-sin(a)}{r},[/mm]
> ...
> [mm]\bruch{\partial b}{\partial z}[/mm] = 0 - Diese Gleichung
> leuchtet mir ein!
>
>
>
> Hier im Skribt hat es auch noch ein Beispiel zur
> [mm]\bruch{\partial b}{\partial y},[/mm] es steht dann:
>
> "Wir leiten [mm]\bruch{\partial b}{\partial y} \equiv \partial_{y}b[/mm]
> explizit ab:"
>
> [mm]\partial_{y}b[/mm]
> = [mm]\partial_{y}*tan(b)*\bruch{1}{\partial_{y}*tan(b)}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\partial_{y}*tan(b)*\bruch{1}{\partial_{\red{b}}*tan(b)}[/mm]
Das folgt aus der Kettenregel:
[mm]g\left(\ b\left(x,y\right)\ \right)=h\left(x,y\right)[/mm]
Differentiation nach y ergibt:
[mm]\bruch{dg}{db}* \bruch{\partial b}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial y}[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]\bruch{\partial b}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial y}*\bruch{1}{\bruch{dg}{db}}[/mm]
mit [mm]g\left(b\right)=\tan\left(b\right)[/mm] und [mm]h\left(x,y\right)=\bruch{y}{x}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x}*cos(b)^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{r*sin(a)*sin(b)}*cos(b)^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{r}*\bruch{cos(b)}{sin(a)}[/mm]
>
> Irgendwie versteh ich da was falsch...? Vielleicht ist das
> partial was anderes hier?
> Wir haben da eben nicht in der Vorlesung durchgenommen, es
> ging im Prinzip nur um die Schrödingergleichung in
> Kugelkoordinaten...aber eben...ich kapiere nicht was man
> hier macht...und mein blöder(!) Assistent hats auch nicht
> gewusst was da passiert. Es nervt mich.
Gruss
MathePower
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Hallo qsxqsx,
ich denke Du übersiehst nur, dass
$r = r(z) = [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [/mm] von $z$ abhängt!
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 23.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hm vielleicht. Danke. Ich probiers jetzt mal mit dem Mitberücksichtigen. Ich meld mich wenns klappt bzw. dann muss(darf; )) niemand auf meine erneute Frage Antworten.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 23.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke.
Jetzt hats gestummen!!! leduart hat also nicht recht gehabt und mein SkriBt hat recht gehabt!!!:P
Danke (natürlich auch an leduart).
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hab nicht aufgepasst.
Gruss leduart
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