Kugeln, Kegelschnitte, Ellipse < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgendes Problem. Stellt euch eine Lichtquelle vor, diese emmitiert einen Kegelförmigen Strahl an Licht. In diesem Lichtegel befindet sich eine Kugel.
Nun befindet sich am Ende eine Ebene auf die der Kgelstrahl und damit auch der Schatten der Kugel abgebildet wird. Diese Ebene kann belibig im Raum orientiert sein.
Allgemein handelt es sich hier (die abbildung des kugelschattens) um einen Kegelschnitt mit einer Ebene. D.h. es entsteht eine Ellipse. Gut. Diese Ellipse hat einen Mittelpunkt.
Auf der anderen Seite hatte die Kugel einen Mittelpunkt. Dieser stimmt NICHT mit dem Ellipsenmittelpunkt überein im Allgemeinen. Nur wenn die Ebene nicht ausgelenkt und die Kugel in der Mitte befindet.
Trotzdem ist mir folgendes aufgefallen. Dieser projizierte Mittelpunkt der Kugel befindet sich immer auf der hauptachse der Ellipse. (auf der auch Ellipsenmittelpunkt und Brennpunkte liegen).
Das möchte ich egrne beweisen. Hat jemand eine Idee wie das funktioniert? ich wär für denkanstöße zu einem womöglich sogar analytischen beweis sehr dankbar!
LG Lannigan2k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Do 14.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine geometrische Idee hätte ich.
Dazu mal folgendes Bild des Querschnittes durch die Situation:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du hast den Kreis c, und die Lichtstrahlen a und b
Außerdem noch den imaginären Lichstrahl d durch den Mittelpunkt des Kreises.
Und die Gerade G, die Mittellinie der Ellipse auf der Projektionsebene
Jetzt hast du eine Menge Dreiecke, zwei davon sind sogar rechtwinklig:
Das Dreieck ACD in D und das Dreieck ACE in E.
Diese sind sogar konkruent, denn die Strecke [mm] \overline{AC} [/mm] ist die Hypothenuse beider Dreiecke, und ausserdem gilt f=e
Daraus folgt, dass der Strahl d die Winkelhalbierende der Lichtstrahlen a und b ist.
Wenn ich diese ganze Figur jetzt un diesen Strahl d rotiere, liegt H immer auf der Verbindungslinie [mm] \overline{GF} [/mm] (F und G ergeben, wenn sie auf der Ebene rotieren, eine Ellipsenförmige Spur, so dass du auf der Projektionsebene zwie Ellipsen hast, und H müsste meiner Meinung nach dann auf den Hauptachsen dieser beiden Ellipsen liegen. (Evtl ist er sogar ein Brennpunkt beider Ellipsen, aber da bin ich mir gerade nicht sicher)
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
und danke erstmal marius für die schnelle antwort. ein paar anmerkungen von meiner seite.
[mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AE} [/mm] sind nicht zwingend orthogonal auf d. Stell dir einfach vor der Kreis würde richtung C laufen. Aber das ist ja nicht so wichtig, es stimmt jedenfalls dass der mittelpuntkstrahl den Kegelöffnungswinkel halbiert.
ich sehe nur nicht ganz wie mir das rotieren am ende um d weiterhilft. es entstehen 2 ellipsen, ja, aber H befindet sich doch dann weder in der einen noch in der anderen ellipse. ich glaube so komme ich nicht wirklich weiter...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Do 14.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
Hallo
>
> und danke erstmal marius für die schnelle antwort. ein
> paar anmerkungen von meiner seite.
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AE}[/mm] sind nicht zwingend
> orthogonal auf d. Stell dir einfach vor der Kreis würde
> richtung C laufen. Aber das ist ja nicht so wichtig, es
> stimmt jedenfalls dass der mittelpuntkstrahl den
> Kegelöffnungswinkel halbiert.
Es gilt aber, dass [mm] \overline{AD}\perp\overline{CD} [/mm] und
[mm] \overline{AE}\perp\overline{CE}
[/mm]
>
> ich sehe nur nicht ganz wie mir das rotieren am ende um d
> weiterhilft. es entstehen 2 ellipsen, ja, aber H befindet
> sich doch dann weder in der einen noch in der anderen
> ellipse. ich glaube so komme ich nicht wirklich weiter...
Da mache ich mir bei Gelegenheit mal Gedanken zu. Ich bin mir leider inzwischen nicht mehr so sicher, wie heute morgen 
Marius
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Hallo,
es genügt ja, folgenden Fall zu betrachten, der durch Koordinatentransformation immer zu erreichen ist.
Eine Kugel mit Radius 0<r<1 habe ihren Mittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Die Projektionsebene sei y=-1. Die Kugel wird nun "beleuchtet" durch eine punktförmige Lichtquelle in der Ebene z=0, die außerhalb der Kugel liegt und deren y-Koordinate [mm] y_L>0 [/mm] ist.
Nun genügt es, die Ebene z=0 als Schnitt durch den gesamten Aufbau zu betrachten, der zu dieser Ebene symmetrisch ist. Das heißt auch, dass die Mittelachse der Ellipse in dieser Ebene liegt, nämlich auf der Geraden (y=-1, z=0). Der Mittelpunkt der Kugel wird von der Lichtquelle in [mm] (x_L,y_L,0) [/mm] mit [mm] y_L>0 [/mm] auf den Punkt [mm] (-x_L/y_L,-1,0) [/mm] projiziert, der auf der genannten Gerade liegt.
Grüße
reverend
Darin liegt ein Kreis mit Radius r um den Ursprung, die Gerade y=-1 und die Lichtquelle mit den Koordinaten (x,y) mit y>0.
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Danke für deine Hilfe!
ja das klingt logisch. aber bei mir stellt sich im kopf gerade die frage, lässt sich jede anordnung auf deine form bringen?
kann ich immer davon ausgehen dass die projektionsebene durch y=-1 beschrieben werden kann? ich stell mir gerade eine anordnung vor, wobei die projektionsebene ihren Fußpunkt (Mitte) in
[mm] \vektor{0.5 \\ 0.5 \\ 10}
[/mm]
und die basisvektoren, sagen wir
[mm] \vektor{1 \\ 0.5 \\ 0.5}
[/mm]
und
[mm] \vektor{0.5 \\ 1 \\ 0.5}
[/mm]
die Quelle tatsächlich in [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] wäre und der Kugelmittelpunkt in [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 5} [/mm] ist.
Lässt sich das auch überführen?
[Externes Bild http://img263.imageshack.us/img263/7674/picja.jpg]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 14.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo zwischendurch,
ja, das lässt sich überführen, sofern die Lichtquelle einen größeren Abstand von der Ebene hat als der Kugelmittelpunkt. Allerdings hat man bei den gegebenen Größen da ein bisschen zu tun. Das kann ich gerade zeitlich nicht, aber vielleicht heute abend.
Deswegen als Mitteilung - vielleicht hat ja solange schon jemand anders Lust und Zeit zu antworten...
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Do 14.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
Sieh dir in wiki ![[]](/images/popup.gif) Dandelinsche Kugelan, dann ist der Beweis evident, gleichzeitig auch, dass der Schatten der kugel (bzw Schnitt mit einer Ebene) auch wirklich ein Kegel"schnitt" ist.
Gruss leduart
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Danke!
Leider sehe ich aber nicht warum der projizierte Mittelpunkt der Kugel auf der hauptachse liegen soll?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 14.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht siehst du es auf nem Höhenlinienbild, stell die die Linien von unten nach oben von 0 bis 13, entsprechend die Kreise des Kegels , Spitze A bei Höhe 10 äußerster kreis Höhe 0. schnittpunkte vebunden geben die ellipse, die Symmetrielinie ist die Haüptachse. Bei der Dandelinfigur eigentlich auch klar, dass die 2 Punkte, wo Ebene und kegel nur noch den Punkt auf der Linie haben die hauptachse ist. sieh das Bild genau an.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Do 14.07.2011 | | Autor: | leduart |
bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank leduart. Wenn man das so betrachtet, kann man das auch sehen ja. aber so ein richtiger beweis sit das nicht. und ich denke der dandelinsche Kreis führt mich ein bisschen weit weg von meinem problem.
ich würde gern noch einmal darauf zurückkommen, dass man durch koordiantentransformation auf die form kommt.
Kugel in [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Quelle in [mm] \vektor{x_S \\ y_S \\ 0}
[/mm]
Bildebene [mm] \vektor{\lambda x_B \\ -1 \\ \mu z_B}
[/mm]
ich habe bereits zeigen können, dass man jede anordnung der form
[Dateianhang nicht öffentlich] Datei-Anhang1
in die form
[Dateianhang nicht öffentlich] Datei-Anhang2
bringen (rotation um verbindugnsgerade) kann.
jetzt ist aber die Ebene ja nicht parametrisierbar durch y=-1 außer man dreht die anordnung, richtig?
wenn man zudem möchte dass für Quelle und Kugel gilt z=0 dann rotiert man die ebene ja wieder raus, so dass letzteres bild nicht gilt mehr. dann hat man auch keine symmetrie die man ausnutzen kann.
wäre nett wenn reverend oder jemand anderes der da eine idee hat, weiterhelfen könnte. DANKE schonmal!
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Fr 15.07.2011 | | Autor: | lannigan2k |
habe mir grad folgendes überlegt, wenn ich statt wie oben folgendes mache
[Dateianhang nicht öffentlich]Datei-Anhang
zu
[Dateianhang nicht öffentlich]Datei-Anhang2
damit kann man Quelle und Kugel in z=0 bringen und hat z=0 als symmetrieebene, was dann letztendlich den satz beweist oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo lannigan2k,
ich finde es umständlich, zunächst ein beliebiges
Koordinatensystem zu benützen und dann Kegel
und Ebene irgendwie zurechtzudrehen.
Es steht uns doch frei, gleich von Anfang an das
Koordinatensystem (wenn man überhaupt eins
benützen will) geeignet zu wählen.
Sei a die Gerade durch Lichtquelle und Kugel-
mittelpunkt (=Rotationsachse des Kegels) und
n die Normale von der Lichtquelle auf die Projek-
tionsebene. Diese beiden Geraden spannen eine
Ebene auf [mm] {}^{\ast}, [/mm] die man zu einer Koordinatenebene
des Koordinatensystems erklären kann.
Sie ist Symmetrieebene der gesamten Anordnung.
LG Al-Chw.
(*) Im Fall a=n kann man eine beliebige Ebene
nehmen, die diese Gerade enthält)
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> Hallo,
>
> ich habe folgendes Problem. Stellt euch eine Lichtquelle
> vor, diese emmitiert einen Kegelförmigen Strahl an Licht.
> In diesem Lichtegel befindet sich eine Kugel.
> Nun befindet sich am Ende eine Ebene auf die der Kgelstrahl
> und damit auch der Schatten der Kugel abgebildet wird.
> Diese Ebene kann belibig im Raum orientiert sein.
>
>
> Allgemein handelt es sich hier (die abbildung des
> kugelschattens) um einen Kegelschnitt mit einer Ebene. D.h.
> es entsteht eine Ellipse. Gut. Diese Ellipse hat einen
> Mittelpunkt.
> Auf der anderen Seite hatte die Kugel einen Mittelpunkt.
> Dieser stimmt NICHT mit dem Ellipsenmittelpunkt überein im
> Allgemeinen. Nur wenn die Ebene nicht ausgelenkt und die
> Kugel in der Mitte befindet.
>
> Trotzdem ist mir folgendes aufgefallen. Dieser projizierte
> Mittelpunkt der Kugel befindet sich immer auf der
> hauptachse der Ellipse. (auf der auch Ellipsenmittelpunkt
> und Brennpunkte liegen).
>
> Das möchte ich egrne beweisen. Hat jemand eine Idee wie
> das funktioniert? ich wär für denkanstöße zu einem
> womöglich sogar analytischen beweis sehr dankbar!
>
> LG Lannigan2k
Hallo,
ich fände einen rein geometrischen Beweis ansprechender.
Der ist bestimmt auch kürzer.
Es geht um eine Symmetriebetrachtung an der Anordnung,
die aus Kugelfläche , Kegelfläche und Projektionsebene
besteht.
Wenn du zeigen kannst, dass diese drei Objekte eine
gemeinsame Symmetrieebene S haben müssen und dass
auch die Schnittkurve (Kegelschnitt) bezüglich dieser Ebene S
symmetrisch sein muss, bist du praktisch am Ziel.
Versuche also, die Lage einer solchen Symmetrieebene
mit Hilfe der gegebenen Objekte (Rotationsachse des
Kegels, Projektionsebene) geometrisch zu beschreiben.
Übrigens muss die Schnittkurve (Schattenrand) nicht un-
bedingt eine Ellipse sein. Es kommen auch Hyperbel oder
Parabel in Frage und natürlich der Kreis (Spezialfall der
Ellipse).
LG Al-Chw.
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Hallo,
tausend dank für die antwort!!!
also gut. ich glaube ich versteh dass über symmetrien man auch zum ziel kommen kann.
ich kann sicherlich um die verbindungsgerade quelle-kugelmittelpunkt rotieren und das bild ändert sich nicht. (erstens)
ich kann die ebene um die normale der ebene rotieren und das bild ändert sich nicht. (zweitens)
desweiteren kann man ja zeigen, dass man jede anordnung der form
[Dateianhang nicht öffentlich] Datei-Anhang1
in die form
[Dateianhang nicht öffentlich] Datei-Anhang2
bringen (rotation um verbindugnsgerade).
Dann wäre auch z=0 eine symmetrieebene? dazu sollte ich vorher aber die quelle und die Kugel nach z=0 bringen und dann um die verbindungsgerade rotieren, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> ich glaube ich versteh dass über symmetrien man
> auch zum ziel kommen kann.
>
> ich kann sicherlich um die verbindungsgerade
> quelle-kugelmittelpunkt rotieren und das bild ändert sich
> nicht. (erstens)
... soweit man nur Lichtquelle, Kugel und Kegel betrachtet !
> ich kann die ebene um die normale der ebene rotieren und
> das bild ändert sich nicht. (zweitens)
dabei rotieren aber Lichtquelle, Kugel und Kegel im
Allgemeinen wild ringsum !
> [Dateianhang nicht öffentlich] Datei-Anhang1
Schöne Bilder ...
> Dann wäre auch z=0 eine symmetrieebene? dazu sollte ich
> vorher aber die quelle und die Kugel nach z=0 bringen und
> dann um die verbindungsgerade rotieren, oder?
Ich würde Koordinatensysteme ganz aus dem Spiel lassen.
Wenn man die Rotationsachse a des Kegels normal auf die
Ebene projiziert (Projektion a'), so spannen a und a' die
gesuchte Symmetrieebene S auf. Da a in S liegt, sind
Kugel und Kegel offensichtlich symmetrisch bezüglich S.
Kegelspitze (=Lichtquelle) und Kugelmittelpunkt liegen in S.
Die Projektionsebene (in welcher die Schnittkurve liegt) ist
normal zu S und damit symmetrisch bezüglich S.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 15.07.2011 | | Autor: | lannigan2k |
ah ja sehr coole herleitung. die gefällt mir wirklich. Vielen Dank!!!!
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![[a]](uploads/forum/00810934/forum-i00810934-n001.PNG "Dateianhänge"){kind=small}
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Datei-Anhang2![[a]](uploads/forum/00810939/forum-i00810939-n001.PNG "Dateianhänge"){kind=small}
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