Kugelparametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich folgendes Bsp zu lösen:
Gegeben ist ein Paramter [mm] \alpha \in \IR [/mm] und das auf [mm] R^3 [/mm] \ {0} definierte Vektorfeld
V [mm] \alpha (x,y,z)=\bruch{1}{(x^{\alpha}+y^{\alpha}+z^{\alpha})^{1/2}}*\vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
Es sei nun [mm] \alpha [/mm] =2 und S ist die Oberfläche der Kugel mit Radius 1 und Ursprung.
Nun soll ich das Oberflächenintegral [mm] \integral_{}^{}\integral_{S}^{}{V2 dO} [/mm]
durch direkte Berechnung bestimmen.
Ich hab mal meine Kugel parametrisiert:
c= [mm] \vektor{sin\beta cos\phi \\ sin\beta sin\phi \\ cos\beta}
[/mm]
Das alles partiell abgeleitet und Kreuzprodukt gebildet ergibt mir : [mm] sin\beta
[/mm]
Meine Parametrisierung s eingesetzt ins Vektorfeld
[mm] \bruch{1}{((sin\beta cos\phi)^{2}+(sin\beta sin\phi)^{2}+(cos\beta)^{2})^{1/2}}*\vektor{sin\beta cos\phi \\ sin\beta sin\phi \\ cos\beta}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}{(\bruch{1}{((sin\beta cos\phi)^{2}+(sin\beta sin\phi)^{2}+(cos\beta)^{2})^{1/2}}*\vektor{sin\beta cos\phi \\ sin\beta sin\phi \\ cos\beta})(sin\beta) d\beta d\phi}
[/mm]
Ich glaube beim Integral ist ein Fehler weil der riesige Ausdruck nur noch mit [mm] sin\beta [/mm] multpliziert wird
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf [mm] sin\beta, [/mm] du brauchst doch die Normale auf S, und die kennt du bei einer Kugel doch ohne Rechnung., schreib es erstmal kartesisch, dann musst du fast nichts mehr rechnen. auf S ist doch [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] usw.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 06.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja ich komme auf sin [mm] \beta [/mm] deshalb:
[mm] \bruch{\partial (x,y,z)}{\partial (r, \phi , \beta} [/mm] = det [mm] \pmat{ sin\beta cos\phi & rcos\beta cos\phi & -rsin\beta sin\phi \\ sin\beta sin\phi & rcos\beta sin\phi & rsin\beta cos\phi \\ cos\beta & -rsin\beta & 0} [/mm] = [mm] r^2 sin\beta [/mm]
Weil r=1 wegen der Einheitskugel = [mm] sin\beta
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
die det. ist doch kein Kreuzprodukt, du willst doch den Normalenvektor, und der ist einfach
du brauchst \vec(n}*vec{V}*dA unter dem Integral.
soll deine det die Umrechnung von dA bzw dO auf Kugelkoordinaten sein? dann ist das richtig, dann fehlt der Normaleneinheitsbektor
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 06.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja der Normaleneinheitsvektor ist ja in kartesischen Koordinaten r= (x,y,z)
In Zylinderkoor.: [mm] r=(sin\beta*cos\phi ;sin\beta*sin\phi;cos\beta)
[/mm]
Mich verwirrt etwas die Darstellung des Vektorfeldes!
Wie mache ich nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erstmal ordentlich hin, welches Integral du berechnen willst, dann rechne einfach aus, ich würde das Skalarprodukt kartesixh ausrechnen, und benutzen dass [mm] x^2+y^2+z^2=r^2=1 [/mm] ist. erst für das eigentliche Integral dann Kugelkoordinaten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 06.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja wie ich schon beschrieben habe ,ich möchte das Integral [mm] \integral_{}^{}\integral_{S}^{}{V dO} [/mm] berechnen
Der Einheitsnormalvektor der Einheitskugel ist ja [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Nun habe ich ja mein Vektorfeld mit [mm] \alpha [/mm] =2 :
[mm] \vektor{\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \\ \bruch{y}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}}\\\bruch{z}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} }
[/mm]
Nun grad f(x,y,z) [mm] =\vektor{\bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\ \bruch{-xy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\bruch{-xz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}{\vektor{\bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\ \bruch{-xy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\bruch{-xz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} \vektor{x \\ y \\ z}dF}
[/mm]
Aber in welchen Grenzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
du willst doch über \vec{V}*d\vec{({O}= \vec{V}*\vec{({n} dA integrieren. warum da einen Gradient. und wie hast du den denn berechnet?
warum nicht x^2+y^2+z^2=^wie ich vorschlug?
irgendwie ist dir nicht klar, was der Fluß eines Vektorfeldes durch eine Fläche ist.
und was du eigentlich machen sollst.
Schreib doch erstmal genauer (allgemein) dein Integral hin.Mach dir in Gedanken klar iwe dein V hier zu der Oberfläche steht und was deshalb \vec{V}*\vec{({n} ist.
Gru00 leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:43 Sa 26.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo nochmal
Ich habe mir das Bsp nochmal angeschaut und möchte es nun wirklich lösen.
Nochmal kurz die Aufgabenstellung:
Gegeben sei das Vektorfeld [mm] v=\bruch{1}{(\wurzel{x^2+y^2+z^2})^{1/2}}*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und S die Oberfläche der Einheitskugel.
Ich soll durch direkte Berechnung das Integral [mm] \integral_{S}^{}\integral_{}^{}{v dO} [/mm] bestimmen.
Mein erster Schritt war das Vektorfeld mal zusammen zufassen.
[mm] v=\vektor{\bruch{x}{(\wurzel{x^2+y^2+z^2})^{1/2}} \\ \bruch{y}{(\wurzel{x^2+y^2+z^2})^{1/2}}\\\bruch{z}{(\wurzel{x^2+y^2+z^2})^{1/2}}}
[/mm]
Nun meine Parametrisierung der Einheitskugel c= [mm] \vektor{cos(\alpha) sin(\beta) \\ sin(\alpha)sin(\beta) \\ cos(\beta)}
[/mm]
Jetzt hätte ich meine Parametrisierung in das Vektorfeld v eingesetzt.
[mm] \vektor{\bruch{cos(\alpha) sin(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}} \\ \bruch{sin(\alpha)sin(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}}\\\bruch{cos(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}}}
[/mm]
Die Funktionaldeterminante ergibt mir ja für die Einheitskugel [mm] sin(\beta)
[/mm]
Jetzt fehlt nur noch der Normalenvektor n aber wie bekomme ich diesen aus dem Kreuzprodukt welcher partiellen Ableitungen
Das ganze Integral müsste dann so aussehen oder:
[mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\vektor{\bruch{cos(\alpha) sin(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}} \\ \bruch{sin(\alpha)sin(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}}\\\bruch{cos(\beta)}{(\wurzel{(cos(\alpha) sin(\beta))^2+(sin(\alpha)sin(\beta))^2+cos(\beta)^2})^{1/2}}}*n d\beta d\alpha}
[/mm]
Aber das ganze ist ohne Normalenvektor schon ein riesiger Ausdruck.Ich glaub es rennt etwas falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 28.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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