Kugelvolumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei [mm] Vol(B_n(r)):=\lambda^n\{x\in \IR^n,||x||\le r\} [/mm] für r>0 |
Hallo Leute,
der Rest der Aufgabe ist dann schon nicht mehr interessant. Ich will hier ja auch keine Lösungen, sondern ich will gerne verstehen, was es mit [mm] Vol(B_n(r)):=\lambda^n{x\in \IR^n,||x||\le r} [/mm] für r>0 auf sich hat und zwar Stück für Stück. [mm] Vol(B_n(r)) [/mm] steht für das Volumen einer n-dimensionalen Kugel, mit Radius r, soviel ist noch klar. Was auch klar ist, ist [mm] {x\in \IR^n,||x||\le r} [/mm] für r>0. Das sind die x, die sich in der Kugel befinden. Was sich mir nicht erschließt ist [mm] das\lambda^n. [/mm] Was bedeutet es hier?
Vielen Dank für jeden Tipp
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hi,
das [mm] $\lambda^{n}$ [/mm] weist üblicherweise auf das Lebesgue-Maß hin. Ein Maß ordnet einer (messbaren) Menge (z.B. einer Kugel mit Radius $r$) eine nichtnegative Zahl zu, nämlich ihr Volumen bezüglich dieses Maßes.
Das Lebesgue-Maß ist quasi das "gute" Maß, das bei kartesischen Koordinaten das Volumen zuordnet, das wir der Menge auch "aus dem Bauch heraus" zuordnen würden.
Für nähere Details siehe Maßtheorie, das ist ein ziemlich umfangreiches Teilgebiet der Mathematik ^^;
Gruß,
AT-Colt
|
|
|
| |
|
Vielen Dank!
Folgende Frage ist jetzt mehr Interesse als dass es mit der Aufgabe zu tun hätte
gibt es eigentlich eine Formel für n-dimensionales Kugelvolumen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ja, die gibt es. Sie lautet [mm] $r^{n}\bruch{\pi^{\bruch{n}{2}}}{\Gamma\left(\bruch{n}{2}+1\right)}$. [/mm] Hierbei wurde die Gammafunktion benutzt. Einen einfacheren Ausdruck kenne ich gerade nicht.
Gruß,
AT-Colt
|
|
|
|
