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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:56 Sa 22.08.2009 | | Autor: | Raoul |
| Aufgabe | $ [mm] \max\limits_{\vec{x} \in X}\left[ 1 + \frac{55\cdot x_1^2}{7+x_1^2} +\frac{40\cdot x_2^2}{9+x_2^2}\right]$
[/mm]
so dass
[mm] $X=\left\{\begin{matrix}
g_1(\vec{x}) := 15-x_1 - x_2 \ge 0\\
g_2(\vec{x}) := x_1-2 \ge 0 \\
g_3(\vec{x}) := x_2-1 \ge 0 \\
g_4(\vec{x}) := 75-\epsilon_2+4 x_1-\frac{x_1^2}{2}+3 x_2-\frac{x_2^2}{2} \ge 0\\
g_5(\vec{x}) := 95-\epsilon_3-\frac{1}{2} \left(x_1-3\right){}^2-\frac{1}{2} \left(x_2-7\right){}^2 \ge 0$
\end{matrix}\right\}$ [/mm] |
Hallo,
ich habe folgendes Problem (siehe Aufgabe).
Die Kuhn-Tucker-Bedingungen für dieses Problem lauten:
[mm] $\begin{matrix}
-u_1+u_2+u_5 \left(3-x_1\right)+u_4 \left(4-x_1\right)-\frac{110 x_1^3}{\left(7+x_1^2\right){}^2}+\frac{110x_1}{7+x_1^2}=0\\
-u_1+u_3+u_4 \left(3-x_2\right)+u_5 \left(7-x_2\right)-\frac{80 x_2^3}{\left(9+x_2^2\right){}^2}+\frac{80
x_2}{9+x_2^2}=0\\
u_1 \cdot(15-x_1-x_2)=0 \\
u_2 \cdot(x_1-2)=0 \\
u_3 \cdot(x_2-1)=0 \\
u_4 \cdot\left(75-\epsilon_2+4 x_1-\frac{x_1^2}{2}+3 x_2-\frac{x_2^2}{2}\right)=0 \\
u_5 \cdot\left(95-\epsilon_3-\frac{1}{2} \left(x_1-3\right){}^2-\frac{1}{2} \left(x_2-7\right){}^2\right)=0 \\
15-x_1-x_2\geq 0 \\
x_1-2\geq 0 \\
x_2-1\geq 0 \\
75-\epsilon_2+4 x_1-\frac{x_1^2}{2}+3 x_2-\frac{x_2^2}{2}\geq 0 \\
95-\epsilon_3-\frac{1}{2} \left(x_1-3\right){}^2-\frac{1}{2} \left(x_2-7\right){}^2\geq 0 \\
\forall r=1,...,5 \quad u_r\geq 0
\end{matrix}$
[/mm]
Wenn ich dieses Gleichungssystem für [mm] $\epsilon_2=70,5$ [/mm] und [mm] $\epsilon_3=85,5$ [/mm] durch Mathematica lösen lasse, dann bekomme ich u.a. als Lösung:
[mm] $\begin{matrix}
0\leq u_5\leq 0.868254\\
u_4=3.4494938902564216\cdot 10^{-7} \left(912515-341056 u_5\right)\\
u_3=0.0000375305 \left(5760-5329 u_4-5329 u_5\right)\\
u_2=0\\
u_1=0\\
e_3=86.5\\
e_2=70.5\\
x_1=7\\
x_2=8
\end{matrix}$
[/mm]
Meine Frage:
----------------
Was soll mir denn ein Kuhn-Tucker-Multiplikator von [mm] $0\leq u_5\leq [/mm] 0.868254$ sagen? Habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?
Klar ist:
* [mm] $g_1(\vec{x})$,$g_4(\vec{x})$ [/mm] und [mm] $g_5(\vec{x})$ [/mm] sind aktive Nebenbedingungen => Eigentlich muss [mm] $u_1>0$,$u_4>0$ [/mm] und [mm] $u_5>0$ [/mm] sein.
* [mm] $g_2(\vec{x})$ [/mm] und [mm] $g_3(\vec{x})$ [/mm] sind nicht aktiv => Es muss sein [mm] $u_2=0$ [/mm] und [mm] $u_3=0$
[/mm]
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Raoul
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 30.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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