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| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{x^{2}-3}{x+2} [/mm] |
hi,
ich muss für diese aufgabe eine komplette Kurvendiskussion machen + Graphen zeichnen.
Als Definitionsmenge hab ich rausbekommen: D=R/ ( - /wurzel{3},/wurzel{3} )
Die Nullstellen habe ich auch schon ausgerechnet: N1 (- /wurzel{3} /0 ) N2( /wurzel{3} /0 )
Eine Polstelle hab ich bei x= -2
als nächstes wollte ich das Monotonieverhalten untersuchen, dafür hab ich die erste ableitung gebildet:
f'(x) = [mm] \bruch{2x^{3}-x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}
[/mm]
Um hier die Nullstellen rauszubekommen, mach ich eine Polynomdivision, da kommt dann raus:
[mm] (2x^{3}-x^{2}+4x+3):(x^{2}+4x+4) [/mm] = 2x - 5 + [mm] \bruch{16x+23}{x^{2}+4x+4}
[/mm]
Ich hab hier die [mm] (x+2)^{2} [/mm] ausmultipliziert und mit dem ausmulitiplizierten die Polynomdivison gemacht.
Ich weiß nicht wie ich die Nullstellen weiter bestimmen soll, wenn bei der Polynomdivision ein Ergebnis mit Rest rauskommt.
Wenn ich von der 2. Ableitung die Nullstellen bestimmen will, ebenfalls durch Polynomdivison, kommt ebenfalls ein Ergebnis mit Rest raus.
Kann mir vllt. jemand sagen, was ich falsch gemacht habe oder wie man die nullstellen bei einer polynomdivison mit rest bestimmt?
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie kommst du auf die Ableitung:
Du hast:
$$ [mm] f(x)=\bruch{\overbrace{x^{2}-3}^{u}}{\underbrace{x+2}_{v}} [/mm] $$
Also, mit  Quotientenregel
$$ [mm] f'(x)=\bruch{\overbrace{(2x)}^{u'}\overbrace{(x+2)}^{v}- \overbrace{(x^{2}-3)}^{u}\overbrace{1}^{v'}}{\underbrace{(x+2)^{2}}_{v^{2}}} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{(2x^{2}+4x)-(x^{2}-3)}{(x+2)^{2}} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}} [/mm] $$
Aber du machst auch noch einen Fehler bei der Nullstellenbestimmung deiner falschen Ableitung. Du suchst "nur" die Nullstellen des Zählers, da diese ausreichen, dass ein Bruch Null wird.
Du hättest also für die Nullstellen der 1. Ableitung "nur" 2x³-4x²+4x+3=0 setzen müssen, eine Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] "raten", und dann [mm] (2x^{3}-x^{2}+4x+3):(x-x_{0})=\text{"quadratischer Restterm"} [/mm] rechnen müssen, um dann den quadratischen Restterm mit den bekannten Verfahren weiter zu bearbeiten.
Marius
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danke für die Korrektur. Ich sitz heut schon den halben Tag davor und bin einfach nicht auf die Idee gekommen, dass ich die quotientenregel falsch angewandt hab.
danke:)
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Hallo fosschuelerin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> f(x) = [mm]\bruch{x^{2}-3}{x+2}[/mm]
> hi,
> ich muss für diese aufgabe eine komplette Kurvendiskussion
> machen + Graphen zeichnen.
> Als Definitionsmenge hab ich rausbekommen: D=R\ ( -
> /wurzel{3},/wurzel{3} )
$D=R [mm] \backslash \{ - \wurzel{3},\wurzel{3} \}$
[/mm]
Hier nimmst du offenbar die Nullstellen raus, das ist aber nicht richtig!
Du hast die Polstelle (=Definitionslücke) schon korrekt bestimmt [mm] \Rightarrow $D=R\backslash \{-2\}$
[/mm]
> Die Nullstellen habe ich auch schon ausgerechnet: N1 (-
> /wurzel{3} /0 ) N2( /wurzel{3} /0 )
> Eine Polstelle hab ich bei x= -2
>
> als nächstes wollte ich das Monotonieverhalten
> untersuchen, dafür hab ich die erste ableitung gebildet:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2x^{3}-x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}[/mm]
>
> Um hier die Nullstellen rauszubekommen, mach ich eine
> Polynomdivision, da kommt dann raus:
>
> [mm](2x^{3}-x^{2}+4x+3):(x^{2}+4x+4)=2x-5+\bruch{16x+23}{x^{2}+4x+4}[/mm]
>
> Ich hab hier die [mm](x+2)^{2}[/mm] ausmultipliziert und mit dem
> ausmulitiplizierten die Polynomdivison gemacht.
>
> Ich weiß nicht wie ich die Nullstellen weiter bestimmen
> soll, wenn bei der Polynomdivision ein Ergebnis mit Rest
> rauskommt.
>
> Wenn ich von der 2. Ableitung die Nullstellen bestimmen
> will, ebenfalls durch Polynomdivison, kommt ebenfalls ein
> Ergebnis mit Rest raus.
>
> Kann mir vllt. jemand sagen, was ich falsch gemacht habe
> oder wie man die nullstellen bei einer polynomdivison mit
> rest bestimmt?
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> #
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß informix
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