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| Aufgabe | Zeichnen Sie die durch die folgende Funktion gegebene Kurve, bestimmen Sie ihre Länge und den Inhalt der von dem zu [mm] \gamma(t) [/mm] gehörigen Ortsvektor überstrichene Fläche. Für die Zeichnung dürfen sie ein Computerprogramm benutzen.
[mm] \gamma(t):=((2\pi-t+sin(t), 1-cos(t))^{T} [/mm] für [mm] t\in[0,2\pi]
[/mm]
[Hinweis: [mm] 1-cos(t)=2sin^{2}\bruch{t}{2} [/mm] für [mm] t\in\IR [/mm] |
Hallo :D
zur Zeichnung:
Wie zeichne ich einen solchen Graphen?? ... Ich hab auch irgendwie kein zeichenprogramm gefunden in das ich diese Funkrion eingeben konnte, wegen dem [mm] \pi [/mm] und ^{T} ...
zur Länge:
Die hab ich berechnet, ich hoffe das stimmt ??
[mm] \gamma'(t)=(cos(t)-1, [/mm] sin(t))
|(cos(t)-1, sin(t))|
[mm] =\wurzel{2-2cos(t)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2-2cos(t) dt}
[/mm]
[mm] =4\pi
[/mm]
zum Inhalt:
Hier habe ich leider keine Ahnung was ich machen muss, ich hoffe mir kann jemad helfen :D
LG
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Hallo Kruemel1008,
> Zeichnen Sie die durch die folgende Funktion gegebene
> Kurve, bestimmen Sie ihre Länge und den Inhalt der von dem
> zu [mm]\gamma(t)[/mm] gehörigen Ortsvektor überstrichene Fläche.
> Für die Zeichnung dürfen sie ein Computerprogramm
> benutzen.
>
> [mm]\gamma(t):=((2\pi-t+sin(t), 1-cos(t))^{T}[/mm] für
> [mm]t\in[0,2\pi][/mm]
> [Hinweis: [mm]1-cos(t)=2sin^{2}\bruch{t}{2}[/mm] für [mm]t\in\IR[/mm]
> Hallo :D
>
> zur Zeichnung:
> Wie zeichne ich einen solchen Graphen?? ... Ich hab auch
> irgendwie kein zeichenprogramm gefunden in das ich diese
> Funkrion eingeben konnte, wegen dem [mm]\pi[/mm] und ^{T} ...
>
> zur Länge:
> Die hab ich berechnet, ich hoffe das stimmt ??
> [mm]\gamma'(t)=(cos(t)-1,[/mm] sin(t))
> |(cos(t)-1, sin(t))|
> [mm]=\wurzel{2-2cos(t)}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{2-2cos(t) dt}[/mm]
Hier musst Du doch
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2-2cos(t)} \ dt}[/mm]
berechnen.
> [mm]=4\pi[/mm]
>
> zum Inhalt:
> Hier habe ich leider keine Ahnung was ich machen muss, ich
> hoffe mir kann jemad helfen :D
>
Das riecht nach der ![[]](/images/popup.gif) Sektorformel von Leibniz.
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 31.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hoch T heisst transponiert, also wurde ein Zeilenvektor geschrieben, ein Spaltenvektor gemein. es ist keine Hoch zahl.
zum zeichnen:
1. die Ortskurve für [mm] x-2\pi+t=sint
[/mm]
y-1=-cost
zeichnen kennst du den Ort von x=sint, y=cost? dann ist die Kurve verschoben, und die Verschiebunb hängt noch von t ab.
Wenn man das nicht sieht einfach einige t in dem Intervall einsetzen, t=0, [mm] t=\pi/6 t=\pi/3 [/mm] usw dann sieht man schnell wie sie aussieht
in geogebra definierst du z.B den Punkt A wie er da steht und nimmst für t ein Schieberegister, von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
es ist eine Rollkurve! oder Zykloide.
bis dann, lula
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wäre dies hier die Zeichnung der Kurve ?
Koordinaten : [mm] (2\pi-t+sin(t),1-cos(t))
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
ja, das sieht so ganz ok aus. Man erkennt jetzt schlecht die genauen Werte für Maximum und x-Achsenabschnitte.
Generell stimmt dies aber. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich habe es bisschen skaliert. Somit wäre das Maximum bei y=2 und die x-Achsenabschnitte lassen sich leider nicht vernünftig ändern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich habe die Aufgabe zur Übung genommen und habe diese hoffentlich richtig gelöst.
Den Graphen habe ich bereits im Post vorher angehängt.
Für die Länge der Kurve habe ich 8 ( ME = Maßeinheiten) raus und für den Inhalt habe ich [mm] \pi [/mm] errechnet.
Stimmt es?
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Hallo alkho93,
> Ich habe die Aufgabe zur Übung genommen und habe diese
> hoffentlich richtig gelöst.
>
> Den Graphen habe ich bereits im Post vorher angehängt.
>
> Für die Länge der Kurve habe ich 8 ( ME = Maßeinheiten)
> raus und für den Inhalt habe ich [mm]\pi[/mm] errechnet.
>
Poste doch hier die bisherigen Rechenschritte.
> Stimmt es?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Für den Inhalt habe ich folgende Schritte gemacht:
Sektorformel von Leibniz :
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{[x(t)*y'(t)-y(t)*x'(t)] dt}
[/mm]
mit [mm] x(t)=2\pi-t+sin(t) [/mm] und y(t)= 1-cos(t)
und x'(t)=-1+cos(t) und y'(t)=sin(t)
Nach einsetzen und zusammenfassen habe ich folgendes :
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{2\pi}{[(2\pi-t)*sin(t)+2-2*cos(t)] dt}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}*[(t-2\pi)*cos(t)-sin(t))-2*sin(t)]
[/mm]
auflösen und zusammenfassen liefert letztendlich folgendes :
[mm] \bruch{1}{2}*(-3*sin(2*\pi)-(-2*\pi*1)=\pi
[/mm]
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Hallo alkho93,
> Für den Inhalt habe ich folgende Schritte gemacht:
>
> Sektorformel von Leibniz :
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{[x(t)*y'(t)-y(t)*x'(t)] dt}[/mm]
>
> mit [mm]x(t)=2\pi-t+sin(t)[/mm] und y(t)= 1-cos(t)
>
> und x'(t)=-1+cos(t) und y'(t)=sin(t)
>
> Nach einsetzen und zusammenfassen habe ich folgendes :
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{2\pi}{[(2\pi-t)*sin(t)+2-2*cos(t)] dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}*[(t-2\pi)*cos(t)-sin(t))-2*sin(t)][/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]\gdw \bruch{1}{2}*[(t-2\pi)*cos(t)-sin(t))-2*sin(t)\red{+2t}][/mm]
> auflösen und zusammenfassen liefert letztendlich folgendes
> :
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(-3*sin(2*\pi)-(-2*\pi*1)=\pi[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Stimmt !
Habe vergessen, die " 2 " aufzuleiten.
Also müsste das Ergebnis : [mm] 6\pi [/mm] sein oder?
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Hallo alkho93,
> Stimmt !
>
> Habe vergessen, die " 2 " aufzuleiten.
>
"Aufleiten" ist ein Unwort.
Schreibe stattdessen "integrieren".
> Also müsste das Ergebnis : [mm]6\pi[/mm] sein oder?
Genau genommen ist es die Hälfte davon.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 01.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Pardon! Ist mir im nachhinein aufgefallen, nur wir hatten es in der Schulzeit so gelernt, damit wir direkt wussten was gemeint war. Blöde Angewohntheit :/
Stimmt. [mm] 3\pi [/mm] müsste es sein. Hatte vergessen es noch mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu multiplizieren.
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