Kurve rektifizierbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei I = [a,b], a < b ein kompaktes Intervall, (V,[mm] \left| * \right|_v [/mm] ) ein Banachraum und g : I [mm] \rightarrow V\ [/mm] eine
rektifizierbare Kurve. Für x [mm] \in\ [/mm] [a,b] sei [mm] g_x [/mm] : [a,x] [mm] \rightarrow V\ [/mm] die Einschränkung der Kurve g auf [a,x]. Zeigen Sie:
1. Für jedes x [mm] \in\ [/mm] [a,b] ist [mm] g_x [/mm] rektifizierbar.
2. Die Abbildung
x [mm] \rightarrow L(g_x)\[/mm]
ist stetig. |
Hallo,
ich sitze an dieser Aufgabe und weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll.
Es wäre schön, wenn mir einer helfen könnte.
Danke, takeiteasy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 13.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Zur ersten Frage: Zu einer Zerlegung [mm] $\mathfrak{z}=(a=x_0
Wenn g stetig differenzierbar ist, dann gilt [mm] $$L(g)=\int_a^b|g'(t)|_v [/mm] dt$$ aber das nur am Rande und der Beweis ist auch nicht trivial.
Was ist mit der Stetigkeit? Sei [mm] $f:[a,b]\ni x\mapsto L(g_x)\in\IR$ [/mm] diese Funktion. Du musst $|f(x+h)-f(x)|$ beliebig kleinkriegen. Nun musst du dir überlegen, dass f(x+h)-f(x) (o.B.d.A. h>0) das gleiche wie [mm] $L(g|_{[x,x+h]})$ [/mm] ist und dass dies beliebig klein wird, wenn nur h klein genug ist. Dazu musst du glaube ich benutzen, dass g als stetige Funktion auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig ist.
Auf jeden Fall solltest du jetzt einen Zugang zur Aufgabe gewonnen haben.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 15.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
