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Hallo liebes Team,
ich habe etwa vor einem Monat die gleiche Frage gestellt, aber ich bin leider nicht auf das Ergebnis gekommen.......
Mein Problem:
Eine Kurve zweiter Ordnung: [mm] x^T*A*x+p^T*x+f=0
[/mm]
mit [mm] x=\vektor{x1 \\ x2}, p=\vektor{d\\ e}
[/mm]
Ich weiß, das A eine symmetrische Matrix ist. Insbesondere gilt: [mm] A=A^T.
[/mm]
Ich möchte nun das lineare Glied beseitigen. Ich weiß, das eine Translation mir das Ergebnis liefert. Im Internet habe ich den Ansatz gefunden ( Schade das ich nicht selber drauf gekommen bin...):
x=y+q, mit [mm] y=\vektor{y1\\ y2} [/mm] und [mm] q=-\frac{1}{2}A^{-1}p
[/mm]
Nun meine Rechnung:
[mm] (y-\frac{1}{2}A^{-1}p)^T*A*(y-\frac{1}{2}A^{-1}p)+p^T*(y-\frac{1}{2}A^{-1}p)+f=0
[/mm]
[mm] y^T-\frac{1}{2}p^T*\underbrace{(A^{-1})^T*A}_{=Id}*(y-\frac{1}{2}A^{-1}p)+p^T*y-\frac{1}{2}p^TA^{-1}p+f=0
[/mm]
[mm] y^T-\frac{1}{2}p^Ty+\frac{1}{4}p^TA^{-1}p+p^Ty-\frac{1}{2}p^TA^-1p+f=0
[/mm]
[mm] y^T+\frac{1}{2}p^Ty-\frac{3}{4}p^TA^{-1}p+f=0
[/mm]
Ich weiß nicht mehr weiter.
Weiterhin weiß ich, wie das Ergebnis aussehen muss:
[mm] y^TAy+f^{*}=0
[/mm]
Ich habe auch noch den Link, wo ich es herhabe:
http://www.math.tugraz.at/~ganster/download/kegelschnitte.pdf
Ich wäre sehr Dankbar für hilfreiche Tipps.
Liebe Grüße
Sachse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 02.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Aus [mm] (y-\frac{1}{2}A^{-1}p)^T\cdot{}A\cdot{}(y-\frac{1}{2}A^{-1}p)+p^T\cdot{}(y-\frac{1}{2}A^{-1}p)+f=0 [/mm] folgt
[mm] y^T*A*y-\bruch{1}{2}*y^T*A*A^{-1}*p-\bruch{1}{2}*p^T*A^{-1}*A*y+\bruch{1}{4}*p^T*A^{-1}*A*A^{-1}*p+p^T*y-\bruch{1}{2}*p^T*A^{-1}*p+f=0 [/mm] also
[mm] y^T*A*y-\bruch{1}{4}*p^T*A^{-1}*p+f=0 [/mm] und mit [mm] q=-\bruch{1}{2}*A^{-1}*p [/mm] folgt
[mm] y^T*A*y+\bruch{1}{2}*p^T*q+f=0 [/mm] wie gewünscht.
mfg ullim
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