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| Aufgabe | Sei k die Parameterdarstellung der Kurve K, K=[k], k: $ [mm] [a,b]->R^n [/mm] $
Sei $ [mm] b_{k} [/mm] $ die Fktn der Bogenlänge von K bzgl. k mit
[mm] [ \alpha , \beta ] \to [0, L(K)] [/mm]
[mm] t \to b_{k}(t):=L(K_{k(t))} [/mm]
Sei [mm] L(K) = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{\parallel k'(t) \parallel dt} [/mm]
Sei A die ausgezeichnete Parameterdarstellung von K.
Für das Kurvenintegral gilt dann:
1. Fall: k=A
[mm] \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} [/mm]
2. Fall: k ungleich A:
Sei k also eine beliebige glatte Param.darstellung von K, so existiert zu K die Darstellung A und es gilt:
[mm] \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k(t))b'_{k}(t) dt} = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k(t)) \parallel k'(t) \parallel dt [/mm] ,
wobei substituiert wurde:
[mm] (b_{k})^{-1}:=t [/mm] und [mm] s:=b_{k}(t) [/mm] |
zum 2. Fall und der Substitution, die ich nachzuvollziehen versuche:
[mm] \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} = \integral_{0}^{L(K)}{f(k \circ (b_{k})^{-1})(s) ds} [/mm]
Nun Anwendung von [mm] (b_{k})^{-1}:=t [/mm] und [mm] s:=b_{k}(t) [/mm]:
... [mm] \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k \circ t)(s)b_{k}(t) db_{k}(t)} [/mm]
Kann man das so schreiben?
Und ist [mm] b_{k}(t) db_{k}(t) = b'_{k}(t) dt [/mm] ?
Falls ja - warum?
Und wie geht die Substitution der INtervallgrenzen?
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
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$ L(K) = [mm] \integral_{ \alpha }^{ \beta }{\parallel k'(t) \parallel dt} [/mm] $
Steht das für die Länge der Kurve K?
Wenn ich über die Ableitung einer Fktn integriere, kommt doch als Stammfktn die Fknt selbst heraus, oder? (Und Warum schreibt man das dann mit dem Integral?)
Also
$ L(K) = [mm] \integral_{ \alpha }^{ \beta }{\parallel k'(t) \parallel dt} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] k(t) [mm] \parallel [/mm] $ und mit den Int.-Grenzen (nach Hauptsatz)
[mm] \parallel k( \beta ) \parallel - \parallel k( \alpha ) \parallel [/mm]
Soll das die Länge der Kurve sein?
Mir ist dieser Zusammenhang noch nicht klar.
Warum wird das so geschrieben?
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[mm]F(t) = \left\| k(t) \right\|[/mm] ist keine Stammfunktion von [mm]g(t) = \left\| k'(t) \right\|[/mm]. Du kannst die senkrechten Striche für die euklidische Norm nicht einfach ignorieren.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei k die Parameterdarstellung der Kurve K, K=[k], k: $ [a,b]->R^n $
Sei $ b_{k} $ die Fktn der Bogenlänge von K bzgl. k mit
$ [ \alpha , \beta ] \to [0, L(K)] $
$ t \to b_{k}(t):=L(K_{k(t))} $
Sei $ L(K) = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{\parallel k'(t) \parallel dt} $
Sei A die ausgezeichnete Parameterdarstellung von K.
Für das Kurvenintegral gilt dann:
1. Fall: k=A
$ \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} $
2. Fall: k ungleich A:
Sei k also eine beliebige glatte Param.darstellung von K, so existiert zu K die Darstellung A und es gilt:
$ \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k(t))b'_{k}(t) dt} = \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k(t)) \parallel k'(t) \parallel dt $ ,
wobei substituiert wurde:
$ (b_{k})^{-1}:=t $ und $ s:=b_{k}(t) $ |
zum 2. Fall und der Substitution, die ich nachzuvollziehen versuche:
$ \integral_{0}^{L(K)}{f(A(s)) ds} = \integral_{0}^{L(K)}{f(k \circ (b_{k})^{-1})(s) ds} $
Nun Anwendung von $ (b_{k})^{-1}:=t $ und $ s:=b_{k}(t) $:
... $ \integral_{ \alpha }^{ \beta }{f(k \circ t)(s)b_{k}(t) db_{k}(t)} $
Kann man das so schreiben?
Und ist $ b_{k}(t) db_{k}(t) = b'_{k}(t) dt $ ?
Falls ja - warum?
Und wie geht die Substitution der INtervallgrenzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 26.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 23.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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