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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Kurven-Längenberechnung
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Kurven-Längenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Di 24.11.2009
Autor: georgb

Aufgabe
Gegeben sind folgende Kurven:

f: [mm] [0,3\pi] \to \IR^{2}, [/mm] t [mm] \mapsto \vektor{sin(t) \\ cos(t)} [/mm]
g: [mm] [0,4\pi] \to \IR^{2}, [/mm] t [mm] \mapsto \vektor{cos(3t) \\ sin(3t)} [/mm]

gesucht: Länge von f und g

Ich habs nach folgender Formel berechnet und wollte nachfragen, ob das richtig ist:

L= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{f_{1}'(t)^{2}+f_{2}'(t)^{2}}dt} [/mm]

wobei [a,b] 0 und [mm] 3\pi [/mm] bzw. [mm] 4\pi [/mm] entsprechen.

Meine Ergebnisse:
f: L=1
g: L=3

Würde mich freuen, wenn die Ergebnisst stimmen!
danke!

        
Bezug
Kurven-Längenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 24.11.2009
Autor: fencheltee


> Gegeben sind folgende Kurven:
>  
> f: [mm][0,3\pi] \to \IR^{2},[/mm] t [mm]\mapsto \vektor{sin(t) \\ cos(t)}[/mm]
>  
> g: [mm][0,4\pi] \to \IR^{2},[/mm] t [mm]\mapsto \vektor{cos(3t) \\ sin(3t)}[/mm]
>  
> gesucht: Länge von f und g
>  Ich habs nach folgender Formel berechnet und wollte
> nachfragen, ob das richtig ist:
>  
> L=
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{f_{1}'(t)^{2}+f_{2}'(t)^{2}}dt}[/mm]
>  
> wobei [a,b] 0 und [mm]3\pi[/mm] bzw. [mm]4\pi[/mm] entsprechen.

jo die formel stimmt soweit
>  
> Meine Ergebnisse:
>  f: L=1

hab hier eher [mm] 3\pi [/mm] raus? wie kommst du auf die schöne 1?
>  g: L=3

hier hab ich das [mm] 4*\pi [/mm] fache raus
>  
> Würde mich freuen, wenn die Ergebnisst stimmen!

nein :(
>  danke!
>  

gruß tee
Bezug
                
Bezug
Kurven-Längenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Di 24.11.2009
Autor: georgb

schade dann, auf zur fehlersuche ;-)

für f:
[mm] \integral_{0}^{3\pi}{\wurzel{cos(t)^{2} + (-sin(t))^{2}} dt} [/mm]

ergibt dann schlussendlich wenn ich [mm] 3\pi [/mm] einsetze
[mm] {\wurzel{cos(3\pi)^{2} + sin(3\pi)^{2}}} [/mm] = 1

für g:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-3(sin(3t)^{2} + (3(cos(3t)^{2}} dt} [/mm]

ergibt dann schlussendlich wenn ich [mm] 3\pi [/mm] einsetze
[mm] {\wurzel{9\*sin(3*4\pi)^{2} + 9\*cos(3\*4\pi)^{2}}} [/mm] = 3
Bezug
                        
Bezug
Kurven-Längenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Di 24.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo georgb,

> schade dann, auf zur fehlersuche ;-)
>  
> für f:
> [mm]\integral_{0}^{3\pi}{\wurzel{cos(t)^{2} + (-sin(t))^{2}} dt}[/mm] [ok]

>  
> ergibt dann schlussendlich wenn ich [mm]3\pi[/mm] einsetze
>  [mm]{\wurzel{cos(3\pi)^{2} + sin(3\pi)^{2}}}[/mm] = 1

[bahnhof] du musst schon integrieren bevor du die Grenzen einsetzt ...


Es ist doch ersichtlich [mm] $\int\limits_{0}^{3\pi}{\sqrt{\cos^2(t)+(-\sin(t))^2} \ dt}=\int\limits_{0}^{3\pi}{\sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)} \ dt}=\int\limits_{0}^{3\pi}{\sqrt{1} \ dt}=\int\limits_{0}^{3\pi}{1 \ dt}=[/mm] [t][mm] _0^{3\pi}=3\pi-0=3\pi$ [/mm]

>  
> für g:
>  [mm] $\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-3(sin(3t)\red{)}^{2} + (3(cos(3t)\red{)}^{2}} dt}$ [/mm] ([ok])

Klammern unterschlagen...

>  
> ergibt dann schlussendlich wenn ich [mm]3\pi[/mm] einsetze
>  [mm]{\wurzel{9\*sin(3*4\pi)^{2} + 9\*cos(3\*4\pi)^{2}}}[/mm] = 3

Nee, nee, was machst du denn da??

Bitte zuerst integrieren, fasse mal den Wurzelausdruck weiter oben zusammen, der wird ganz einfach, dann integrieren und die Grenzen einsetzen...


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Kurven-Längenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 24.11.2009
Autor: georgb

mann bin ich blöd!

wenn ich mir das bei g anschaue komm ich im endeffekt wieder auf etwas wie [mm] \wurzel{cos^{2}t + sin^{2}t} [/mm]

und nachdem ich den Sinus auch als [mm] \wurzel{1-cos^{2}t} [/mm]

bleibt mir [mm] \wurzel{1} [/mm] und wenn ich dann die Grenze einsetzte erhalte ich [mm] 4\pi [/mm] als ergebnis
Bezug
                                        
Bezug
Kurven-Längenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Di 24.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Wo hast du die 3 gelassen, die beim Differenzieren rauskommt? siehst du eigentlich , dass du so den entsprechenden Kreisumfang  einfach, bzw mehrfach umlaufen kriegst?
Gruss leduart
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