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Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Do 12.07.2012
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:

c(t)= [mm] (6t,3t^2,t^3) [/mm]


Hallo, könnt ihr mir helfen?

Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer Sache.

K(t)= [mm] \frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3} [/mm]

[mm] ||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2} [/mm]
[mm] ||c'(t)||^3 [/mm] = [mm] (36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} [/mm]

Jetzt:

K(t)= [mm] \frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3} [/mm] = [mm] \frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} } [/mm]

Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss hier [mm] \frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2} [/mm] rauskommen, aber ich weiß nicht wie?!

Bitte um Hilfe! Danke und Grüße


        
Bezug
Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 12.07.2012
Autor: M.Rex

Hallo


> Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:
>  
> c(t)= [mm](6t,3t^2,t^3)[/mm]
>  
> Hallo, könnt ihr mir helfen?
>  
> Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer
> Sache.
>  
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm]
>  
> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]||c'(t)||^3[/mm] = [mm](36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt:
>  
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm] = [mm]\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }[/mm]
>
>  
> Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss
> hier [mm]\frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2}[/mm] rauskommen, aber ich weiß
> nicht wie?!
>

Das wird nicht ganz klappen, denn:

[mm] $\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18t^2-36t+36}}{(\sqrt{36+36t^2+9t^4})^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(\sqrt{9(4+4t^2+t^4)})^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(\sqrt{9((2+t^{2})^{2}})^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(27(2+t^{2}))^{3}}$ [/mm]

Im Nenner kannst du nun nicht vernünftig ausklammern/Vereinfachen, dass die Wurzel verschwindet.

Hättest du
[mm] $\frac{(\red{9}t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$ [/mm]

würde es etwas besser funktionieren, denn:

[mm] $\frac{(9t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{9(t^2-4t+4}}{(\sqrt{36+36t^2+9t^4})^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{9(t-2)^{2}}}{(\sqrt{9(4+4t^2+t^4)})^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{3(t-2)}{(27(2+t^{2}))^{3}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{t-2}{9(2+t^{2})^{3}}$ [/mm]

Aber auch das führt nicht zun gewünschten Ergebnis.

Kannst du uns mal deine Rechungen zu [mm] $||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}$ [/mm] und zu [mm] $||c'(t)||^3=(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}$ [/mm]
zeigen?

> Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
>  

Marius


Bezug
                
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Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Do 12.07.2012
Autor: Bodo0686

Hallo,

also ich habe:

[mm] c(t)=(6t,3t^2,t^3) [/mm]
[mm] c'(t)=(6,6t,3t^2), [/mm] c''(t)=(0,6,6t)

[mm] ||c'(t)\times [/mm] c''(t)|| = ((6t * 6t) - [mm] 3t^2 [/mm] * 6 - (6* 6t - 0) + 6* 6 - 6t * [mm] 0)^\frac{1}{2} [/mm] = [mm] (36t^2-18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2} [/mm]

[mm] ||c'(t)||^3=||(6)^2,(6t)^2,(3t^2)^2||^\frac{1}{2}=((36+36t^2+9t^4)^\frac{1}{2})^3 [/mm]


Grüße

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Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Do 12.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Bodo,


> Hallo,
>  
> also ich habe:
>  
> [mm]c(t)=(6t,3t^2,t^3)[/mm]
>  [mm]c'(t)=(6,6t,3t^2),[/mm] c''(t)=(0,6,6t)
>  
> [mm]||c'(t)\times[/mm] c''(t)|| = ((6t * 6t) - [mm]3t^2[/mm] * 6 - (6* 6t -
> 0) + 6* 6 - 6t * [mm]0)^\frac{1}{2}[/mm] =
> [mm](36t^2-18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]||c'(t)||^3=||(6)^2,(6t)^2,(3t^2)^2||^\frac{1}{2}=((36+36t^2+9t^4)^\frac{1}{2})^3[/mm]

Ah, das ist schlecht zu lesen, mache bei den Formelzeilen ein Dollarzeichen zu Beginn und eines am Ende ...

Es ist doch zunächst [mm]c'(t)\times c''(t)=\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}[/mm]

Und damit [mm]||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}\right|\right|=\ldots[/mm]

Und was hast du da bei [mm]||c'(t)||^3[/mm] geschrieben?

Es ist [mm]||c'(t)||=\left(36+36t^2+9t^4\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]

Was sollen nach deinem ersten "=" die Normstriche bedeuten?

>  
>
> Grüße

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
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Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Do 12.07.2012
Autor: Bodo0686

Also ist es:

$ [mm] ||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}\right|\right|=(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2} [/mm] $ (aufgrund der Norm wird alles zu plus, oder?

$ [mm] ||c'(t)||^3=((36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}) [/mm] $

$ [mm] \frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{(18(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^4+4t^2+4)^\frac{3}{2}}=3\cdot\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^2+2)^3}=\frac{1}{3}\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{(t^2+2)^3} [/mm] $

Bezug
                                        
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Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Do 12.07.2012
Autor: fred97


> Also ist es:
>  
> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}\right|\right|=(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]

Nein. die Norm [mm] =\wurzel{ (18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2} [/mm]

FRED


> (aufgrund der Norm wird alles zu plus, oder?


>  
> [mm]||c'(t)||^3=((36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2})[/mm]
>  
> [mm]\frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{(18(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^4+4t^2+4)^\frac{3}{2}}=3\cdot\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^2+2)^3}=\frac{1}{3}\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{(t^2+2)^3}[/mm]
>  


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Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Do 12.07.2012
Autor: Bodo0686

$ [mm] \frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{((18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^4+4t^2+4)^\frac{1}{2}}{(9(t^4+4t^2+4))^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^2+2)}{(9(t^2+2))^3}=$ [/mm]

Bezug
                                                        
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Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Do 12.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> [mm]\frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{((18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^4+4t^2+4)^\frac{1}{2}}{(9(t^4+4t^2+4))^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^2+2)}{(9(t^2+2))^3}=[/mm]

Der letzte Term stimmt nicht ganz: es ist [mm] $9^{3/2}=27$ [/mm]

Du hast also [mm] $\frac{18(t^2+2)}{27(t^2+2)^3}=\frac{2}{3(t^2+2)^2}$ [/mm] wie in der Lösung auch ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
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Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Do 12.07.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:
>  
> c(t)= [mm](6t,3t^2,t^3)[/mm]
>  
> Hallo, könnt ihr mir helfen?
>  
> Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer
> Sache.
>  
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm]
>  
> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]||c'(t)||^3[/mm] = [mm](36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt:
>  
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm] =
> [mm]\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }[/mm]
>  
> Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss
> hier [mm]\frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2}[/mm] rauskommen, aber ich weiß
> nicht wie?!
>
> Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
>  


||c'(t) [mm] \times [/mm]  c''(t)||  hast Du völlig vermurkst !

FRED

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