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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Do 12.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:
c(t)= [mm] (6t,3t^2,t^3) [/mm] |
Hallo, könnt ihr mir helfen?
Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer Sache.
K(t)= [mm] \frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}
[/mm]
[mm] ||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] ||c'(t)||^3 [/mm] = [mm] (36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} [/mm]
Jetzt:
K(t)= [mm] \frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3} [/mm] = [mm] \frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }
[/mm]
Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss hier [mm] \frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2} [/mm] rauskommen, aber ich weiß nicht wie?!
Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Do 12.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:
>
> c(t)= [mm](6t,3t^2,t^3)[/mm]
>
> Hallo, könnt ihr mir helfen?
>
> Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer
> Sache.
>
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)||^3[/mm] = [mm](36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt:
>
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm] = [mm]\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }[/mm]
>
>
> Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss
> hier [mm]\frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2}[/mm] rauskommen, aber ich weiß
> nicht wie?!
>
Das wird nicht ganz klappen, denn:
[mm] $\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18t^2-36t+36}}{(\sqrt{36+36t^2+9t^4})^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(\sqrt{9(4+4t^2+t^4)})^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(\sqrt{9((2+t^{2})^{2}})^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{18(t^2-2t+2)}}{(27(2+t^{2}))^{3}}$
[/mm]
Im Nenner kannst du nun nicht vernünftig ausklammern/Vereinfachen, dass die Wurzel verschwindet.
Hättest du
[mm] $\frac{(\red{9}t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$
[/mm]
würde es etwas besser funktionieren, denn:
[mm] $\frac{(9t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{9(t^2-4t+4}}{(\sqrt{36+36t^2+9t^4})^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{9(t-2)^{2}}}{(\sqrt{9(4+4t^2+t^4)})^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3(t-2)}{(27(2+t^{2}))^{3}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{t-2}{9(2+t^{2})^{3}}$
[/mm]
Aber auch das führt nicht zun gewünschten Ergebnis.
Kannst du uns mal deine Rechungen zu [mm] $||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}$ [/mm] und zu [mm] $||c'(t)||^3=(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}$ [/mm]
zeigen?
> Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Do 12.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ich habe:
[mm] c(t)=(6t,3t^2,t^3)
[/mm]
[mm] c'(t)=(6,6t,3t^2), [/mm] c''(t)=(0,6,6t)
[mm] ||c'(t)\times [/mm] c''(t)|| = ((6t * 6t) - [mm] 3t^2 [/mm] * 6 - (6* 6t - 0) + 6* 6 - 6t * [mm] 0)^\frac{1}{2} [/mm] = [mm] (36t^2-18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] ||c'(t)||^3=||(6)^2,(6t)^2,(3t^2)^2||^\frac{1}{2}=((36+36t^2+9t^4)^\frac{1}{2})^3
[/mm]
Grüße
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Hallo Bodo,
> Hallo,
>
> also ich habe:
>
> [mm]c(t)=(6t,3t^2,t^3)[/mm]
> [mm]c'(t)=(6,6t,3t^2),[/mm] c''(t)=(0,6,6t)
>
> [mm]||c'(t)\times[/mm] c''(t)|| = ((6t * 6t) - [mm]3t^2[/mm] * 6 - (6* 6t -
> 0) + 6* 6 - 6t * [mm]0)^\frac{1}{2}[/mm] =
> [mm](36t^2-18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)||^3=||(6)^2,(6t)^2,(3t^2)^2||^\frac{1}{2}=((36+36t^2+9t^4)^\frac{1}{2})^3[/mm]
Ah, das ist schlecht zu lesen, mache bei den Formelzeilen ein Dollarzeichen zu Beginn und eines am Ende ...
Es ist doch zunächst [mm]c'(t)\times c''(t)=\vektor{18t^2\\
-36t\\
36}[/mm]
Und damit [mm]||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\
-36t\\
36}\right|\right|=\ldots[/mm]
Und was hast du da bei [mm]||c'(t)||^3[/mm] geschrieben?
Es ist [mm]||c'(t)||=\left(36+36t^2+9t^4\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]
Was sollen nach deinem ersten "=" die Normstriche bedeuten?
>
>
> Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 12.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Also ist es:
$ [mm] ||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}\right|\right|=(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2} [/mm] $ (aufgrund der Norm wird alles zu plus, oder?
$ [mm] ||c'(t)||^3=((36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}) [/mm] $
$ [mm] \frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{(18(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^4+4t^2+4)^\frac{3}{2}}=3\cdot\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^2+2)^3}=\frac{1}{3}\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{(t^2+2)^3} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 12.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also ist es:
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> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=\left|\left|\vektor{18t^2\\ -36t\\ 36}\right|\right|=(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
Nein. die Norm [mm] =\wurzel{ (18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2}
[/mm]
FRED
> (aufgrund der Norm wird alles zu plus, oder?
>
> [mm]||c'(t)||^3=((36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2})[/mm]
>
> [mm]\frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{(18t^2+36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{(18(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^4+4t^2+4)^\frac{3}{2}}=3\cdot\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{9(t^2+2)^3}=\frac{1}{3}\frac{(2(t^2+2t+2))^\frac{1}{2}}{(t^2+2)^3}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 12.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
$ [mm] \frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{((18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^4+4t^2+4)^\frac{1}{2}}{(9(t^4+4t^2+4))^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^2+2)}{(9(t^2+2))^3}=$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> [mm]\frac{||c'(t)\times c''(t)||}{||c'(t)||^3}=\frac{((18t^2)^2+(-36t)^2+(36)^2)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^4+4t^2+4)^\frac{1}{2}}{(9(t^4+4t^2+4))^\frac{3}{2}}=\frac{18(t^2+2)}{(9(t^2+2))^3}=[/mm]
Der letzte Term stimmt nicht ganz: es ist [mm] $9^{3/2}=27$
[/mm]
Du hast also [mm] $\frac{18(t^2+2)}{27(t^2+2)^3}=\frac{2}{3(t^2+2)^2}$ [/mm] wie in der Lösung auch ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Do 12.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Krümmung der folgenden Kurve:
>
> c(t)= [mm](6t,3t^2,t^3)[/mm]
>
> Hallo, könnt ihr mir helfen?
>
> Ich habe alles soweit ausgerechnet nur ich hänge bei einer
> Sache.
>
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)\times c''(t)||=(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)||^3[/mm] = [mm](36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt:
>
> K(t)= [mm]\frac{||c'(t) \times c''(t)||}{||c'(t)||^3}[/mm] =
> [mm]\frac{(18t^2-36t+36)^\frac{1}{2}}{(36+36t^2+9t^4)^\frac{3}{2} }[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt hier weitermachen? Als Ergebnis muss
> hier [mm]\frac{2}{3\cdot(2+t^2)^2}[/mm] rauskommen, aber ich weiß
> nicht wie?!
>
> Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
>
||c'(t) [mm] \times [/mm] c''(t)|| hast Du völlig vermurkst !
FRED
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