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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Do 15.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] e^x-e^{-x}/(e^x+e^{-x}) [/mm] |
Hallo,
ich soll zu dieser Aufgabe eine Kurvendiskussion durchführen, mit Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Asymptoten an der Ränder des Definitionsbereich.
Meiner Meinung nach ist der Definitionsbereich alle Reellen Zahlen, Nullstellen gibt es nicht, da [mm] e^x [/mm] nie null werden kann. Bei den Extrema un den Wendepunkten müsste das auch der Fall sein.
Aber wie bekomme ich den Wertebereich heraus und die Asymptote?
Könnt ihr mir dabei helfen und mir eine Lösung geben?
LG
Dani1987
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Do 15.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]e^x-e^{-x}/(e^x+e^{-x})[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll zu dieser Aufgabe eine Kurvendiskussion
> durchführen, mit Definitionsbereich, Wertebereich,
> Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Asymptoten an der
> Ränder des Definitionsbereich.
>
> Meiner Meinung nach ist der Definitionsbereich alle Reellen
> Zahlen,
Yep
> Nullstellen gibt es nicht, da [mm]e^x[/mm] nie null werden
> kann.
Schon richtig, aber der Zähler des Bruchs wird für x = 0 zu Null, also ist Null eine Nullstelle.
> Bei den Extrema un den Wendepunkten müsste das auch
> der Fall sein.
Auch dort kann der Zähler des Bruches Null ergeben, also hast du Wende- bzx. Extremstellen.
> Aber wie bekomme ich den Wertebereich heraus und die
> Asymptote?
Die Asymptote bekommst du, indem du den Brucstrich als ein "Geteilt-Zeichen" ansiehst, also Zähler durch Nenner teilst.
> Könnt ihr mir dabei helfen und mir eine Lösung geben?
>
Als Hilfe: Hier ist der Graph der Funktion un der ersten beiden Ableitungen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> LG
> Dani1987
>
Ich hoffe, das hilft dir ein wenig weiter.
Marius
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 15.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] (e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x}) [/mm] |
Hi,
schon mal Danke für deine Hilfe!!!
Allerdings verstehe ich nicht wie die Extrema zu stande kommen. Ich muss dafür doch die 1. Ableitung des Zählers der Funktion null setzen oder?
Bei mir ist die 1.Ableitung:
[mm] e^x+e^{-x}
[/mm]
Stimmt das? Wenn ich dann den Wert 0 einsetze erhalte ich ja 0=2.
Könntest du mir bitte die Rechnung für die Asymptote geben? Ich verstehe die Rechnung schon, habe dies bisher aber noch nicht mit e funktionen gmacht.
Wäre sehr nett von dir!!!
Und wie sieht das mit dem Wertebereich aus? Ich weiß nicht so recht was das is.
Dank,
Dani1987
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 15.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> [mm](e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})[/mm]
> Hi,
>
> schon mal Danke für deine Hilfe!!!
> Allerdings verstehe ich nicht wie die Extrema zu stande
> kommen. Ich muss dafür doch die 1. Ableitung des Zählers
> der Funktion null setzen oder?
> Bei mir ist die 1.Ableitung:
>
> [mm]e^x+e^{-x}[/mm]
Leider nicht, du musst die komplette Funktion ableiten (mit der Quotientenregel) und dann den Zähler Null setzen.
Meine erste Ableitung ist
f´(x) = [mm] \bruch{[(e^{x} + e^{-x})(e^{x} - e^{-x})] - [(e^{x} - e^{-x})(e^{x} - e^{-x})]}{(e^{x} + e^{-x})²} [/mm] .
>
> Stimmt das? Wenn ich dann den Wert 0 einsetze erhalte ich
> ja 0=2.
Und dann passt x=0.
>
>
> Könntest du mir bitte die Rechnung für die Asymptote geben?
> Ich verstehe die Rechnung schon, habe dies bisher aber noch
> nicht mit e funktionen gmacht.
> Wäre sehr nett von dir!!!
>
> Und wie sieht das mit dem Wertebereich aus? Ich weiß nicht
> so recht was das is.
>
Der Wertebereich ist der Bereich, den die y-Werte der Funktion annehmen.
>
> Dank,
> Dani1987
Die Asymptotenrechnung schiebe ich in ca. einer Stunde nach.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Do 15.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
So, hier die versprochene Rechnung zur Asymptote:
[mm] e^{x} [/mm] - e ^{-x} : [mm] (e^{x} [/mm] +e [mm] ^{-x})=1-\bruch{2e^{-x}}{(e^{x} + e^{-x})}
[/mm]
Jetzt kannst du erahnen, dass eins die Asymptote ist - x gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen, dann läuft der hintere Term gegen Null.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 15.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Marius!
Deutlicher wird das Randverhalten des Bruches, wenn Du diesen noch mit [mm] $e^x$ [/mm] erweiterst zu:
[mm] $\bruch{2*e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*e^{-x}*\blue{e^x}}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)*\blue{e^x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*1}{\left(e^{x}\right)^2 + 1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{e^{2x} + 1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 15.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] (e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x}) [/mm] |
Nochmal hi,
also ich habe für den Zähler der ersten Ableitung ein anderes Ergebnis!
Bei mir kommt heraus:
[mm] (e^x+e^{-x})*(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})*(e^x-e^{-x})
[/mm]
Wenn ich diesen Term dann 0 setze um die Extrema herauszubekommen, erhalte ich:
0=2*2-0*0
0=4
Dies ist ja ein widerspruch...jetzt weiß ich aber nicht was ich weiter machen muss. Gibt es jetzt keine Extrema???
Wie komme ich eigentlich auf die 2. Ableitung? Ich habe keine Ahnung wie man die Klammern der 1. Ableitung miteinander multipliziert, um den Term für die 2. Ableitung zu vereinfachen.
Bitte helft mir...
LG Dani
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Hallo Dani,
> [mm](e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})[/mm]
> Nochmal hi,
>
> also ich habe für den Zähler der ersten Ableitung ein
> anderes Ergebnis!
> Bei mir kommt heraus:
>
>
> [mm](e^x+e^{-x})*(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})*(e^x-e^{-x})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig.
Hier kann man den Zähler zusammenfassen:
[mm] $f'(x)=\bruch{(e^{2x} + 2 e^x*e^{-x}+ e^{-2x})-(e^{2x} - 2 e^x*e^{-x}+ e^{-2x})}{(e^{x} + e^{-x})^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{4}{(e^{x} + e^{-x})^2}$
[/mm]
>
>
Marius schrieb und hat sich verrechnet:
$f'(x) = [mm] \bruch{[(e^{x} + e^{-x})(e^{x} \red{-} e^{-x})] - [(e^{x} - e^{-x})(e^{x} - e^{-x})]}{(e^{x} + e^{-x})^2} [/mm] $
> Wenn ich diesen Term dann 0 setze um die Extrema
> herauszubekommen, erhalte ich:
>
>
> 0=2*2-0*0
> 0=4
>
>
> Dies ist ja ein widerspruch...jetzt weiß ich aber nicht was
> ich weiter machen muss. Gibt es jetzt keine Extrema???
Genauso ist es! Du hast doch den Graphen schon gesehen, oder?
>
>
> Wie komme ich eigentlich auf die 2. Ableitung? Ich habe
> keine Ahnung wie man die Klammern der 1. Ableitung
> miteinander multipliziert, um den Term für die 2. Ableitung
> zu vereinfachen.
Jetzt hast du ja die Vereinfachung - kommst du jetzt weiter?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 15.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=\bruch{(e^{2x}+2*e^x*e^{-x}+e^{-2x})-(e^{2x}-2*e^x*e^{-x}+e^{-2x})}{(e^x+e^{-x})^2} [/mm] |
Danke für die Zusammenfassung.
Heute ist nicht mein Tag...leider habe ich keine Ahnung wie die 2. Ableitung lautet. Mich irritiert in der Zusammenfassung das Mal-Zeichen in den Klammern. Damit komme ich nicht zurecht.
Falls du Zeit und Lust hast wäre es echt cool wenn du mir sie geben könntest.
LG
Dani
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Hallo Dani!
Vor Anwendung der  Quotientenregel für die 2. Ableitung solltest Du im Zähler zusammenfassen.
Die beiden Produktterme kannst Du jeweils mittels Potenzgesetz [mm] $a^m*a^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m+n}$vereinfachen:
[/mm]
[mm] $e^x*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] e^{x-x} [/mm] \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$
Damit wird Deine 1. Ableitung zu:
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{\left(e^{2x}+2*e^x*e^{-x}+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2*e^x*e^{-x}+e^{-2x}\right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2} \ = \ \bruch{\left(e^{2x}+2*1+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2*1+e^{-2x}\right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2} \ = \ \bruch{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2} \ = \ ... [/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=4/(e^x+e^{-x}) [/mm] |
Hi,
danke für deine Hilfe. Ich habe jetzt die 2. Ableitung gemacht und um die Wendepunkte herauszufinden diese 0 gesetzt. Anhnd der Zeichnung die ich schon bekommen habe, kann man ja sehen, dass bei 0/0 ein Wendepunkt ist. Allerdings bekomme ich dies bei meiner Rechnung, die nun folgt, nicht heraus. Daher bitte ich um Korrektur meiner Rechnung.
[mm] f''(x)=-e^{2x}-2-e^{-2x}/((e^x+e^{-x})^2)^2
[/mm]
setze ich den Zähler nun 0 erhalte ich den Widersprch 0=-4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dani
> [mm]f'(x)=4/(e^x+e^{-x})[/mm]
Falsch, im Nenner fehlt das Quadrat!
>
> danke für deine Hilfe. Ich habe jetzt die 2. Ableitung
> gemacht und um die Wendepunkte herauszufinden diese 0
> gesetzt. Anhnd der Zeichnung die ich schon bekommen habe,
> kann man ja sehen, dass bei 0/0 ein Wendepunkt ist.
> Allerdings bekomme ich dies bei meiner Rechnung, die nun
> folgt, nicht heraus. Daher bitte ich um Korrektur meiner
> Rechnung.
>
>
> [mm]f''(x)=-e^{2x}-2-e^{-2x}/((e^x+e^{-x})^2)^2[/mm]
Ich kann mir keinen Weg vorstellen, wie man auf diese Ableitung kommt.
Weder mit dem Quadrat im Nenner noch ohne.
du hast doch [mm] $\bruch{4}{(e^x+e^{-x})^2}$ [/mm] abzuleiten. Mit Quotientenregel oder einfacher $f'(x)=4* [mm] (e^x+e^{-x})^{-2}$ [/mm] mit der Kettenregel.
Mach das einfach nochmal, wenn wir dir alles fertig vorrechnen, lernst dus ja nicht.
Und du weisst ja zur Kontrolle schon, dass der Zähler bei x=0 0sein muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Dani1987 |
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=4/(e^x+e^{-x})^2 [/mm] |
also ich komme bei der 1. Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel für die 2. ableitung auf folgenden Zwischenschritt:
[mm] f''(x)=(0\cdot{}(e^x+e^{-x})^2)-(4\cdot{}(2\cdot{}(e^x+e^{-x})))
[/mm]
Wenn ich dies dann ausmultipliziere komme ich auf die Ableitung, die ich in der letzten Frage gestellt habe.
Ist das von Anfang an falsch?
Bitte um Antwort
PS: Ich versuche ja das selbst zu rechnen, nur mache ich das gerade zum ersten mal....da klappt noch nich alles und ich weiß nich immer weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dani
> [mm]f'(x)=4/(e^x+e^{-x})^2[/mm]
> also ich komme bei der 1. Ableitung mit Hilfe der
> Quotientenregel für die 2. ableitung auf folgenden
> Zwischenschritt:
>
>
> [mm]f''(x)=(0\cdot{}(e^x+e^{-x})^2)-(4\cdot{}(2\cdot{}(e^x+e^{-x})))[/mm]
Da hast du die Kettenregel vergessen!
Der erste Term gibt ja 0, bei mir gäb der 2. von dir einfach [mm] $8e^x+8e^{-x}$
[/mm]
aber nach Kettenregel ist [mm] $((e^x+e^{-x})^2)'=2*(e^x+e^{-x})*(e^x-e^{-x})=2e^{2x}-2e^{-2x}$
[/mm]
Warum hast dus nicht direkt mit der kettenregel versucht, wie geraten. Brüche mit Zähler 1 differenziert man meist sicherer so!
> Wenn ich dies dann ausmultipliziere komme ich auf die
> Ableitung, die ich in der letzten Frage gestellt habe.
Ich auch durch die zwischenrechnung nicht!
> Ist das von Anfang an falsch?
Du musst wirklich mit der Kettenregel besser umgehen lernen, vielleicht erstmal so:
f(g(x))=f'(g)*g'(x) und dir f und g einzeln aufschreiben. hier z. Bsp. war :
[mm] g=(e^x+e^{-x}) [/mm] g' [mm] =(e^x-e^{-x}), [/mm] f=g^(2) f'=2g dann zusammensetzen . Dann vermeidest du Leichtsinnsfehler, und wenn dus 20 mal so gemacht hast geht es fast wie Instinkt von alleine!
Gruss leduart
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