www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Ganzrationale Funktionen" - Kurvendiskussion
Kurvendiskussion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 07.10.2006
Autor: Loon

Aufgabe
f(x) = [mm] x^4 [/mm] - 6x² + 8

Ich habe eine Kurvendiskussion für die obenstehende Funktion durchgeführt und wüsste gerne, ob sie richtig ist!

Definitionsbereich: D = R

Nullstellen:
[mm] x^4-6x²+8 [/mm] = 0
x = 2 ; x=-2
x = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] x=-\wurzel{2} [/mm]

Verhalten im Unendlichen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x^4 [/mm] -6x² +8) --> positiv unendlich
für x gegen negativ unendlich: --> positiv unendlich

Extremstellen:
1. Ableitung: f'(x) = 4x³-12x
Kriterium für Extrempunkt: f'(x) = 0

4x³-12x= 0
x(4x²-12) = 0
x = 0
oder 4x²-12 = 0
x² - 3 = 0
x = [mm] \wurzel{3} [/mm]
x= [mm] -\wurzel{3} [/mm]
Einsetzen der Werte in die Ursprungsgleichung:
f(0) = 8
[mm] f(\wurzel{3}) [/mm] = -1
[mm] f(-\wurzel{3}) [/mm] = -1

Es liegen 3 Extrempunkte vor:
EP1 ( 0/8)
EP2 [mm] (\wurzel{3} [/mm] /-1)
EP3 [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1)

Bestimmen der 2. Ableitung: f''(x) = 12x-12
Einsetzen der Werte der Extrempunkte in die 2. Ableitung:

f''(0) = -12 --> Hochpunkt
Zu den anderen beiden Ergebnissen habe ich eine Frage: Ich bekommen für [mm] f''(-\wurzel{3}) [/mm] ein negatives Ergebnis, obwohl es sich bei diesem Extrempunkt um einen Tiefpunkt handeln muss; wegen der Symmetrie.

Wendepunkt:
Kriterien: f''(x) = 0
f'''(x) [mm] \not=0 [/mm]

2. Ableitung = 0 setzen; daraus folgt x=1
Einsetzen in die Ursprungsgleichung: y = 3
möglicher Wendepunkt: (1/3)
f'''(x) = 12 --> (1/3) ist ein Wendepunkt.

Symmetrie:  f(-x) = [mm] x^4 [/mm] -6x²-8
F(x) = f(-x)
Der Graph ist achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten vorliegen und f(x) = f(-x) ist. Eine Punktsymmetrie liegt nicht vor.

Auf Grund der Symmetrie lässt sich auf einen 2. Wendepunkt bei (-1/3) sowie auf ein 2. Minimum [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1) schließen.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kurvendiskussion: 2. Ableitung falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Sa 07.10.2006
Autor: Loddar

Hallo Loon,

[willkommenmr] !!


> Definitionsbereich: D = R

[ok]

  
> Nullstellen:
> [mm]x^4-6x²+8[/mm] = 0
> x = 2 ; x=-2
> x = [mm]\wurzel{2}[/mm] ; [mm]x=-\wurzel{2}[/mm]

[ok]


  
> Verhalten im Unendlichen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x^4[/mm] -6x² +8) --> positiv
> unendlich
> für x gegen negativ unendlich: --> positiv unendlich

[ok]



> Extremstellen:
> 1. Ableitung: f'(x) = 4x³-12x
> Kriterium für Extrempunkt: f'(x) = 0
>  
> 4x³-12x= 0
> x(4x²-12) = 0
> x = 0
> oder 4x²-12 = 0
> x² - 3 = 0
> x = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> x= [mm]-\wurzel{3}[/mm]
> Einsetzen der Werte in die Ursprungsgleichung:
> f(0) = 8
> [mm]f(\wurzel{3})[/mm] = -1
> [mm]f(-\wurzel{3})[/mm] = -1

[ok]


> Es liegen 3 Extrempunkte vor:
> EP1 ( 0/8)
> EP2 [mm](\wurzel{3}[/mm] /-1)
> EP3 [mm](-\wurzel{3}[/mm] / -1)

[ok] Auch wenn du ja erst überprüfen musst, ob es sich auch wirklich um Extremstellen handelt. Aber das kommt ja nun ...


> Bestimmen der 2. Ableitung: f''(x) = 12x-12

[notok] Hier hast Du doch glatt ein [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] unterschlagen:

$f''(x) \ = \ [mm] 12*x^{\red{2}}-12$ [/mm]


> Einsetzen der Werte der Extrempunkte in die 2. Ableitung:
>  
> f''(0) = -12 --> Hochpunkt

[ok]


> Zu den anderen beiden Ergebnissen habe ich eine Frage: Ich
> bekommen für [mm]f''(-\wurzel{3})[/mm] ein negatives Ergebnis,
> obwohl es sich bei diesem Extrempunkt um einen Tiefpunkt
> handeln muss; wegen der Symmetrie.

Das sollte sich ja nun mit der richtigen 2. Ableitung erledigt haben, oder? ;-)



> Wendepunkt:
> Kriterien: f''(x) = 0
> f'''(x) [mm]\not=0[/mm]
>  
> 2. Ableitung = 0 setzen; daraus folgt x=1
> Einsetzen in die Ursprungsgleichung: y = 3
> möglicher Wendepunkt: (1/3)

[ok]


> f'''(x) = 12 --> (1/3) ist ein Wendepunkt.
>  
> Symmetrie:  f(-x) = [mm]x^4[/mm] -6x²-8
> F(x) = f(-x)
> Der Graph ist achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten
> vorliegen und f(x) = f(-x) ist. Eine Punktsymmetrie liegt nicht vor.

[ok]


> Auf Grund der Symmetrie lässt sich auf einen 2. Wendepunkt
> bei (-1/3) sowie auf ein 2. Minimum [mm](-\wurzel{3}[/mm] / -1)
> schließen.

Und wie oben schon angedeutet: mit dem richtigen $f''(x)_$ lässt sich das auch rechnerisch zeigen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Sa 07.10.2006
Autor: Loon

Dankeschön, immer diese Flüchtigskeitsfehler ;)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]