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| Aufgabe | Eine Funktion 4. Grades hat die Extremstelle (0/0) und den Wendepunkt (2/3) mit einer Tangente parallel zu y = 2x-4
Stelle die Funktionsgleichung auf und führe dann eine Kurvendiskussion durch. |
Meine Frage ist eigntlich nur, ob ich alles richtig gemacht habe, weil mir der Graph so komisch vorkommt. Außerdem sollen wir das morgen vor der Klasse vorstellen, deswegen möchte ich das gerne richtig haben.
Also fange ich mal an:
Funktion => [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
1Ableitung => [mm] f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d
[/mm]
2Ableitung => [mm] f''(x)=12ax^{2}+6bx+2c
[/mm]
f(0)=0 => e=0
f'(0)=0 =>d=0
f(2)=3 => 3=16a+8b+4c
f'(2)=2 => 2=32a+12b+4c (Hier würde ich gerne wissen ob das stimmt, dass die steigung des Wendepunktes die gleiche ist, wie die der geraden 2x-4)
{f''(2)}=0 => 0=48a+12b+2c
[mm] \vmat{ 16a+8b+4c=3 \\ 32a+12b+4c=2 \\ 48a+12b+2c=0 }
[/mm]
1-2 => -16a-12b=2
2-3 => -64a-4b=1 |*3
16a = 1
a = [mm] \bruch{1}{16} [/mm]
b = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
c = 1,5
[mm] f(x)=\bruch{1}{16}x^{4}-\bruch{1}{2}x^{3}+1,5x^{2}
[/mm]
Soweit so gut. Stimmt es bis hier hin? Also stimmt die Funktionsgleichung? Bin mir nicht sicher wegen der Tangente im Punk (2/3).
Kommen wir nun zu Kurvendisskusion:
Ableitungen:
[mm] f(x)=\bruch{1}{16}x^{4}-\bruch{1}{2}x^{3}+1,5x^{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{4}x^{3}-\bruch{3}{2}x^{2}+3x
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{3}{4}x^{2}-3x+3
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{3}{2}x-3
[/mm]
Symmetrie:
Keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten vorhanden sind.
Nullstellen:
[mm] 0=\bruch{1}{16}x^{4}-\bruch{1}{2}x^{3}+1,5x^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}(\bruch{1}{16}x^{2}-\bruch{1}{2}x+1,5)
[/mm]
[mm] x_{1/2}=4\pm\wurzel{16-24} [/mm] => nicht lösbar
[mm] N_{1}=(0/0)
[/mm]
Extremstellen:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{4}x^{3}-\bruch{3}{2}x^{2}+3x
[/mm]
[mm] 0=x(\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{3}{2}x+3)
[/mm]
[mm] x_{1/2}= 3\pm\wurzel{9-12} [/mm] => nicht lösbar
[mm] E_{1}(0/0)
[/mm]
Wendepunkt:
[mm] f''(x)=\bruch{3}{4}x^{2}-3x+3 [/mm]
[mm] x_{1/2}=2\pm\wurzel{4-4}
[/mm]
[mm] x_{1}=2
[/mm]
[mm] w_{1}(2/3) [/mm] St: 2
So das wars. Also ich hoffe jemand nimmt sich die Zeit und schaut sich das durch. Ist vielleicht ein wenig viel verlangt, aber wäre sehr nett. Ich finde es eben komisch, dass wir keine Punkte gefunden haben, die nicht in der Aufgabe schon gegebn waren. Also habe ich den Verdacht, dass etwas nicht stimmt.
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 13.03.2007 | | Autor: | ONeill |
Hy!
Also wie du auf die Funktion gekommen bist ist auf jeden Fall richtig. Auch in den Folgerechnungen habe ich keinen Fehler gesehen.
Scheint alles richtig zu sein.
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Okay vielen Dank. :) Kam mir nur so komisch vor.
Danke nochmal für die Mühe.
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