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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 22.04.2007 | | Autor: | Kane12 |
| Aufgabe | Gegeben sind die reellen Funktionen f(x)= [mm] -1/4(x^2-4)^2 [/mm] und g(x)= f(x)+3 mit Df= Dg= R
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass in der gesamten Definitionsmenge f(x) - f(-x) = 0 gilt und geben Sie die Bedeutung dieser Gleichung für den Graphen von f an.
Bestimmen Sie die Nullstellen von f mit jeweiliger Vielfachheit. |
Hallo Helfer,
also bei der ersten Aufgabe hab ich schon meine Probleme. Als Ansatz hab ich mir überlegt:
[mm] -1/4(x^2-4)^2 [/mm] - [mm] (+1/4(-x^2+4)^2 [/mm] =0
aufgelöst bring ich raus:
[mm] -1/4x^4+2x^2-4 [/mm] + [mm] 1/4x^4-2x^2-4 [/mm] = 0
dass das nicht stimmen kann ist mir klar, aber ich weiß nicht, ob ich mich nur verrechnet hab (was ich eigentlich ausschließ), oder ob der ansatz schon falsch ist. Kann mir da jemand weiterhelfen????
Was ist dann die Bedeutung für den Graphen???
Bei der Nullstellenbestimmung hab ich als Ansatz f(x)=0
[mm] -1/4(x^2-4)^2 [/mm] =0 und weiter mit Substitution
ich bekomm dann als Nullstellen für [mm] u=x^2 [/mm] u1,2=4 stimmt das???
Danke schonmal fürs helfen:)
ps: bräuchte die antwort so bald wie möglich.
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Hallo Kane,
du hast da irgendwie das $-x$ nicht ganz richtig eingesetzt 
Also [mm] $f(x)-f(\red{-x})=-\frac{1}{4}(x^2-4)^2-\left(-\frac{1}{4}((\red{-x})^2-4)^2\right)=-\frac{1}{4}(x^2-4)^2+\frac{1}{4}(x^2-4)^2=0$
[/mm]
und das für alle [mm] $x\in [/mm] D$
Bei der Bestimmung der Nullstellen brauchst du keine Substitution - kannste direkt ablesen:
also [mm] $f(x)=0\gdw -\frac{1}{4}(x^2-4)^2=0\gdw (x^2-4)^2=0\gdw (x^2-4)=0\gdw x^2=4\gdw x=2\vee [/mm] x=-2$
Bei deiner (richtigen) Lösung mit der Substitution musst du noch zurück substituieren:
[mm] $u_{1,2}=4 \Rightarrow x_{1,2}=\pm [/mm] 2$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 22.04.2007 | | Autor: | Kane12 |
| Aufgabe | Ermitlleln Sie mit Hilfe der Ergebnisse von eben Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen Gg der Funktion g.
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Danke für deine schnelle antwort.
Bin wohl etwas durcheinander gekommen.
Vielleicht kannst du mir auch bei meinem nächsten Problem helfen. Es geht darum die Aufgabe ohne weitere Rechnung zu beantworten...
Würde gerne einen eigenen Ansatz vorbringen aber ich hab nun gar keine Vorstellung wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Danke schonmal an jeden der helfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kane!
Aufgrund von $f(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*(x^2-4)^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*(x+2)^{\red{2}}*(x-2)^{\red{2}}$ [/mm] handelt es sich bei [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 2$ jeweils um doppelte Nullstellen.
Es sind also auch Nullstellen der 1. Ableitung. Was sagt uns das für die möglichen Extremwerte?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 22.04.2007 | | Autor: | Kane12 |
Bedeutet das, dass bei (2;0) und (-2;0), je ein hoch- und ein tiefpunkt ist aber wo ist was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 22.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin kane,
tschö. zunächst sagt uns das. dass bei x=-2 und x=2 waagerechte tangenten existieren, d.h. dass dort und nur dort extrempunkte vorliegen können.
du musst diese werte x=-2 bzw. x=2 in die 2. ableitung einsetzen.
für x=-2 würde das heissen:
falls f''(-2) > 0 ist dort ein TP
falls f''(-2) < 0 ist dort ein HP
falls f''(-2) = 0 ist dort kein Extrempunkt.
gruß
wolfgang
achso, wenn für alle x gilt f(x) = f(-x) [einfache umformung deiner in der aufgabenstellung gegebenen gleichung] bedeutet das, dass die funktion achsensymmetrisch ist; bzw. das x nur in geraden potenzen vorkommt.
ist eigentlich f oder g zu betrachten? [macht ggf. einen unterschied beim ausrechnen der y-werte]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 22.04.2007 | | Autor: | Kane12 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an Gg im Punkt R(1;g(1)) |
Danke Wolfgang,
also es ist g zu betrachten. Das mit den waagerechten Tangenten hab ich verstanden. Ich soll die Aufgabe jedoch ohne Rechnung lösen, dh. nur mit schon vorhandenen Ergebnissen von bereits gelösten Aufgaben, siehe
x=-2 & x=2.
Kann mir jemand bestätigen, das der Versuch zur oben gestellten Angabe richtig ist? ps. dies ist auch noch eine teilaufgabe von der Gesamten Aufgabe.
R(1;g(1)) in g(x) eingesetzt
[mm] g(1)=-1/4(1^2-4)^2+3
[/mm]
=2 3/4 ---> R(1;2 3/4)
Tangentengleichung
y=f'(xo) (x-xo) + f(xo)
y=3x-5 1/4
stimmt das so???
Danke schonmal.
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Hallo Kane,
> Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an Gg im Punkt
> R(1;g(1))
> Danke Wolfgang,
> also es ist g zu betrachten. Das mit den waagerechten
> Tangenten hab ich verstanden. Ich soll die Aufgabe jedoch
> ohne Rechnung lösen, dh. nur mit schon vorhandenen
> Ergebnissen von bereits gelösten Aufgaben, siehe
> x=-2 & x=2.
> Kann mir jemand bestätigen, das der Versuch zur oben
> gestellten Angabe richtig ist? ps. dies ist auch noch eine
> teilaufgabe von der Gesamten Aufgabe.
>
> R(1;g(1)) in g(x) eingesetzt
>
> [mm]g(1)=-1/4(1^2-4)^2+3[/mm]
> =2 3/4 ---> R(1;2 3/4) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Tangentengleichung
> y=f'(xo) (x-xo) + f(xo) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y=3x-5 1/4
> stimmt das so???
leider nicht
> Danke schonmal.
Hi du hast $g(1)$ falsch berechnet:
[mm] $g(1)=-\frac{1}{4}(1^2-4)^2+3=-\frac{1}{4}\cdot{}9+3=-\frac{9}{4}+\frac{12}{4}=\frac{3}{4}$
[/mm]
Die Ableitung von $g(x)$ ist [mm] $g'(x)=....=-x^3+4x\Rightarrow [/mm] g'(1)=3$
Also mit der Tangentengleichung: $t(x)=g(1)+g'(1)(x-1)$ ergibt sich:
[mm] $t(x)=\frac{3}{4}+3(x-1)=\frac{3}{4}+3x-3=3x-\frac{9}{4}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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