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Kurvendiskussion: Bitte korrigieren! Dringend!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mo 18.02.2008
Autor: DJZombie

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion: f(x) = [mm] 1/4x^4 [/mm] - [mm] 4/3x^3 [/mm] + 2x²

1. Liegen erkennbare Symmetrien vor?
2. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
3a. Bestimme die Extrempunkte der Funktion.
3b. Handelt es sich um Hoch- oder Tiefpunkte?
3c. Sind die Extrema absolut oder nur lokal?
4. Lege an der Stelle x=2 eine Tangente t(x) an die Funktion an.
5. Gibt es eine Gerade g(x) die parallel zu t(x) verläuft und auch eine Tangente an die Funktion darstellt?

Moin,

also dann leg ich mal los:

1. Nein, es liegen weder nur gerade bzw. nur ungerade Exponenten vor.

2.

f(x) = [mm] 1/4x^4 [/mm] - [mm] 4/3x^3 [/mm] + 2x²
f(x) = 0
0    = [mm] 1/4x^4 [/mm] - [mm] 4/3x^3 [/mm] + 2x²  |: 1/4
0    = [mm] x^4 [/mm] -  5 [mm] 1/3x^3 [/mm] + 8x²  |x² ausklammorn
0    = x² (x² - 5 1/3x + 8 )   |pq-formel

x1 = 2 2/3 + Wurzel 64/9 + 8 = +6.55396
x2 = 2 2/3 - Wurzel 64/9 + 8 = -1.22063

Nullstellen:
(6.55|0) (-1.22|0)

3a.

Die Nullstellen der ersten Ableitung sollen ja die Extrema zur normalen Funktion sein:

f(x)  = [mm] 1/4x^4 [/mm] - [mm] 4/3x^3 [/mm] + 2x²
f'(x) = [mm] 1x^3 [/mm] - 4x² + 4x

f'(x) = 0
0     = [mm] x^3 [/mm] - 4x² + 4x   |x ausklammorn
0     = x²  - 8x  + 4    | pq-formel

x1 = -4 + Wurzel 16 + 4 = +0.4721
x2 = -4 - Wurzel 16 + 4 = -8.4721

Exetrema der normalen Funktion:

(0|0.4721) (0|-8.4721)


Bitte einmal gucken ob meine bisherigen Ergebnisse richtig sind.

Bei dem Rest habe ich keine Ahnung.
Da wären keine Hilfen super. =)


Es ist sehr dringend, da wir noch diese Woche die Klausur schreiben, für eine möglichst schnelle Antwort wäre ich also sehr dankbar!
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mo 18.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Gegeben sei die Funktion: f(x) = [mm]1/4x^4[/mm] - [mm]4/3x^3[/mm] + 2x²
>  
> 1. Liegen erkennbare Symmetrien vor?
>  2. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
>  3a. Bestimme die Extrempunkte der Funktion.
>  3b. Handelt es sich um Hoch- oder Tiefpunkte?
>  3c. Sind die Extrema absolut oder nur lokal?
>  4. Lege an der Stelle x=2 eine Tangente t(x) an die
> Funktion an.
>  5. Gibt es eine Gerade g(x) die parallel zu t(x) verläuft
> und auch eine Tangente an die Funktion darstellt?
>  
> Moin,
>
> also dann leg ich mal los:
>  
> 1. Nein, es liegen weder nur gerade bzw. nur ungerade
> Exponenten vor.

[ok] keine Symmetrie! Jedoch ist es machnmal sinnvol f(-x) und -f(x) auszurechnen
>  
> 2.
>
> f(x) = [mm]1/4x^4[/mm] - [mm]4/3x^3[/mm] + 2x²
>  f(x) = 0
>  0    = [mm]1/4x^4[/mm] - [mm]4/3x^3[/mm] + 2x²  |: 1/4
>  0    = [mm]x^4[/mm] -  5 [mm]1/3x^3[/mm] + 8x²  |x² ausklammorn
>  0    = x² (x² - 5 1/3x + 8 )   |pq-formel
>  
> x1 = 2 2/3 + Wurzel 64/9 + 8 = +6.55396
>  x2 = 2 2/3 - Wurzel 64/9 + 8 = -1.22063

>
Hier stimmt irgendwas nicht. Du hast [mm] x²(x²+\bruch{16}{3}x+8) [/mm] ausgeklammert das ist alles richtig. Dann haben wir eine doppelte Nullstelle und zwar [mm] x_{0}=0 [/mm] Denn die Funktion wird genau dann 0 wenn einer der Faktoren 0 wird. Nun kümmern wir uns um die Klammer. Wenn du das mit der p-q Formel löst bekommst du keine  Nullstelle denn die Wurzel wird negativ. Es ist [mm] x_{0}=\bruch{8}{3}\pm\wurzel{\bruch{64}{9}-8}=\bruch{8}{3}\pm\wurzel{-\bruch{8}{3}} [/mm]
> Nullstellen:
>  (6.55|0) (-1.22|0)
>  

damit [notok]
> 3a.
>  
> Die Nullstellen der ersten Ableitung sollen ja die Extrema
> zur normalen Funktion sein:
>  

[ok]
> f(x)  = [mm]1/4x^4[/mm] - [mm]4/3x^3[/mm] + 2x²
>  f'(x) = [mm]1x^3[/mm] - 4x² + 4x
>  

[ok]
> f'(x) = 0
>  0     = [mm]x^3[/mm] - 4x² + 4x   |x ausklammorn
>  0     = x²  - 8x  + 4    | pq-formel
>

Wenn du asklammerst bekommst du folgendes [mm] x(x^{2}-4x+4) \Rightarrow x_{E}=0 [/mm] (selbes Argument wie oben du darfst das ausgeklammerte x nicht vernachlässigen) Nun die Klammer: [mm] x^{2}-4x+4 [/mm] Nullstellen also Kandidaten für Extrema sind [mm] x_{E}=2 [/mm] (doppelt)
> x1 = -4 + Wurzel 16 + 4 = +0.4721
>  x2 = -4 - Wurzel 16 + 4 = -8.4721
>  
> Exetrema der normalen Funktion:
>  
> (0|0.4721) (0|-8.4721)
>

Demnach [notok] Beachte Wenn du die erste Ableitung null setzt dann heisst das NUR das dort Extremstellen vorliegen aber dies leifert dir keine Koordinaten für die Extrema. Hierzu brauchst du noch die 2.Ableitung und setzt dort deine Kandidaten ein und schaust ob f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt und f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt. Dann setzt du die Kadidaten in die Ausgangsfunktion ein und du bekommst den y-wert des Extremas. der x Wert ist dein Kandidat.

>
> Bitte einmal gucken ob meine bisherigen Ergebnisse richtig
> sind.
>  

c) globaler Hochpunkt bedeutet dass dies der "höchste" Punkt ist. zb [mm] Hochpunkt_{1}=(0|7) [/mm] und [mm] Hochpunkt_{2}=(4|9) [/mm] damit ist [mm] Hochpunkt_{2} [/mm] global und [mm] Hochpunkt_{1} [/mm] lokal
> Bei dem Rest habe ich keine Ahnung.
> Da wären keine Hilfen super. =)
>  

Was weist du denn über Tangenten? Deine Tangente soll f(x) an der Stelle 2 berühren. Was bedeutet das?
>
> Es ist sehr dringend, da wir noch diese Woche die Klausur
> schreiben, für eine möglichst schnelle Antwort wäre ich
> also sehr dankbar!

Versuch bitte den Formeleditor zu benutzen. Deine Ergebnisse waren sehr schwer zu lesen vorallem das in der Wurzel..

[cap] Gruß
Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 18.02.2008
Autor: DJZombie

Hi, vielen vielen Dank!!

1. richtig, erledigt.
2. im Ansatz richtig, doch:

*) das ausgeklammerte x nicht vergessen. (Passiert mir normalerweise auch nicht - weiß der Geier warum das hier 2 mal geschieht)
*) dann habe ich die pq-formel anscheinend falsch angewendet:
[mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel[2]{\bruch{p}{2} + q} [/mm]
deiner Lösung nach ist sie:
[mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel[2]{\bruch{p}{2} + q} [/mm]

da lag der Fehler. Sehr peinlich..*schäm*

Aber wir wissen nun - nicht zuletzt dank dir - dass x=0 eine doppelte Nullstelle ist.

3.

Normale Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^4 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x^3+2x^2 [/mm]
Erste Ableitung:
[mm] f'(X)=x^3-4x^2+4x [/mm]

nun wieder ausklammern, dann sehen wir, oder können mit der PQ-Formale errechnen, dass
x=2 eine doppelte Nullstelle ist.


"Beachte Wenn du die erste Ableitung null setzt dann heisst das NUR das dort Extremstellen vorliegen aber dies leifert dir keine Koordinaten für die Extrema. Hierzu brauchst du noch die 2.Ableitung und setzt dort deine Kandidaten ein und schaust ob f''(x)>0 --> Tiefpunkt und f''(x)<0  --> Hochpunkt"

die zweite Ableitung wäre nun:
[mm] f''(x)=3x^2-8x+4 [/mm]

nun setze ich wie gesagt die Kandidaten ein: x=2.
[mm] f''(x)=6^2-16+4 [/mm]
f''(x)=36-20
f''(x)=16

f''(x) > 0 --> Tiefpunkt!

"Dann setzt du die Kadidaten in die Ausgangsfunktion ein und du bekommst den y-wert des Extremas. der x Wert ist dein Kandidat."

Das waren mir jetzt ein bisschen viele Kandidaten..

Muss ich 2 oder 16 für x in die Ausgangsfunktion einsetzen?

Erster Fall:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}*2^4 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}*2^3+2*2^2 [/mm]
[mm] f(x)=4-10\bruch{2}{3}+8 [/mm]
[mm] f(x)=1\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] y=1\bruch{1}{3} [/mm]


Zweiter Fall:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}*16^4 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}*16^3+2*16^2 [/mm]
[mm] f(x)=16384-5461\bruch{1}{3}+512 [/mm]
[mm] f(x)=11434\bruch{2}{3} [/mm]

Mir erscheint das erste wahrscheinlicher - ist doch richtig, oder?

Wie würde dann das / die Extrema lauten?
[mm] (2|1\bruch{1}{3}) [/mm] ?



"Was weist du denn über Tangenten? Deine Tangente soll f(x) an der Stelle 2 berühren. Was bedeutet das?"

Das heißt, dass f(x) auf der Stelle 2 liegt und die Tangente durch diese gehen muss.
Nun muss ich einen weiteren Punkt finden den die Tangente berührt. Denke ich mal.
Wie tue ich das?

"Versuch bitte den Formeleditor zu benutzen. "

Ich hoffe so ist es besser =)

Danke im Vorraus! :)
Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mo 18.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Hi, vielen vielen Dank!!
>  
> 1. richtig, erledigt.
>  2. im Ansatz richtig, doch:
>  
> *) das ausgeklammerte x nicht vergessen. (Passiert mir
> normalerweise auch nicht - weiß der Geier warum das hier 2
> mal geschieht)
>  *) dann habe ich die pq-formel anscheinend falsch
> angewendet:
>  [mm]\bruch{p}{2} \pm \wurzel[2]{\bruch{p}{2} + q}[/mm]
>  deiner
> Lösung nach ist sie:
>  [mm]\bruch{p}{2} \pm \wurzel[2]{\bruch{p}{2} + q}[/mm]
>  
> da lag der Fehler. Sehr peinlich..*schäm*
>  
> Aber wir wissen nun - nicht zuletzt dank dir - dass x=0
> eine doppelte Nullstelle ist.
>  
> 3.
>
> Normale Funktion:
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^4[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}x^3+2x^2[/mm]
>  Erste Ableitung:
>  [mm]f'(X)=x^3-4x^2+4x[/mm]
>

bis hier hin is alles perfekt [super]
> nun wieder ausklammern, dann sehen wir, oder können mit der
> PQ-Formale errechnen, dass
>  x=2 eine doppelte Nullstelle ist.
>  

[ok]
>
> "Beachte Wenn du die erste Ableitung null setzt dann heisst
> das NUR das dort Extremstellen vorliegen aber dies leifert
> dir keine Koordinaten für die Extrema. Hierzu brauchst du
> noch die 2.Ableitung und setzt dort deine Kandidaten ein
> und schaust ob f''(x)>0 --> Tiefpunkt und f''(x)<0  -->
> Hochpunkt"
>  
> die zweite Ableitung wäre nun:
>  [mm]f''(x)=3x^2-8x+4[/mm]
>  

[ok]
> nun setze ich wie gesagt die Kandidaten ein: x=2.
>  [mm]f''(x)=6^2-16+4[/mm]
>  f''(x)=36-20
>  f''(x)=16
>

hier wirds dann leider wieder falsch.
Also: wir haben zwei Kandidaten mit der ersten Ableitung errechnet. 1. [mm] x_{E}=0 [/mm] und [mm] x_{E}=2 [/mm]
Nun setzen wir dies in die zweite Ableitung ein welche du richtig bestimmt hast.
[mm] f''(0)=3*(0)^{2}-8*0+4=4>0 \Rightarrow TP(x_{E}|y). [/mm] Das [mm] x_{E} [/mm] haben wir ja schon es ist nämlich [mm] x_{E}=0. [/mm] Das y erechnen wir in dem wir [mm] x_{E} [/mm] also die 0 ind die Ausgangsfunktion einsetzen. Wir erhalten 0 heraus. Also folgt TP(0|0)
Das selbe machst du für [mm] x_{E}=2. [/mm] Hier wirst du festellen dass wir einen sogenannten Sattelpunkt bekommen. Ich hoffe du weisst was das ist. Das bedeutet dass die Steigung an diesen Punkt null ist :-) (erinnerst du dich noch an die Aufgabe 4 :-) )
> f''(x) > 0 --> Tiefpunkt!
>  
> "Dann setzt du die Kadidaten in die Ausgangsfunktion ein
> und du bekommst den y-wert des Extremas. der x Wert ist
> dein Kandidat."
>  
> Das waren mir jetzt ein bisschen viele Kandidaten..
>  
> Muss ich 2 oder 16 für x in die Ausgangsfunktion
> einsetzen?
>  
> Erster Fall:
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{4}*2^4[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}*2^3+2*2^2[/mm]
>  [mm]f(x)=4-10\bruch{2}{3}+8[/mm]
>  [mm]f(x)=1\bruch{1}{3}[/mm]
>  [mm]y=1\bruch{1}{3}[/mm]
>  
>
> Zweiter Fall:
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{4}*16^4[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}*16^3+2*16^2[/mm]
>  [mm]f(x)=16384-5461\bruch{1}{3}+512[/mm]
>  [mm]f(x)=11434\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> Mir erscheint das erste wahrscheinlicher - ist doch
> richtig, oder?
>  
> Wie würde dann das / die Extrema lauten?
>  [mm](2|1\bruch{1}{3})[/mm] ?
>  

das ist falsch. Ich habs dir oben erklärt. :-)
>
>
> "Was weist du denn über Tangenten? Deine Tangente soll f(x)
> an der Stelle 2 berühren. Was bedeutet das?"
>  
> Das heißt, dass f(x) auf der Stelle 2 liegt und die
> Tangente durch diese gehen muss.
>  Nun muss ich einen weiteren Punkt finden den die Tangente
> berührt. Denke ich mal.
>  Wie tue ich das?
>  

Die Form der Tangente ist t(x)=mx+b Diese soll nun an der Stelle x=2 gelegt werden. Aus vorandegangenem wissen wir (wenn du die kurvendiskussion abgeschlossen hast) dass an der Stelle 2 ein Sattelpunkt vorliegt. Also Steigung =0 Und die Steigung wir ja durch die Ableitung berechnet. ok?
> "Versuch bitte den Formeleditor zu benutzen. "
>  
> Ich hoffe so ist es besser =)
>  

Ja viel besser [super]
> Danke im Vorraus! :)


[cap] Gruß

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