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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 26.03.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo MatheTeam
Tach Marc
Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich letztens bei der Nachhilfe bearbeitet habe.
Aufgabe:
[mm]\bruch{1}{x^3-4x}[/mm]
Habe schon folgendes ausgerechnet:
1)Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zur y-Achse
2)[mm]D=\IR \{0,2,-2\}[/mm]
Pole: 0: Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
2: Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
-2: POl mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
3)Keine Nullstellen.
4)Näherungsfunktion ist y=0
5) Extremstellen: [mm]H(\wurzel{\bruch{3}{4}}|-0,32)[/mm]
[mm]T(-\wurzel{\bruch{3}{4}}|0,32)[/mm]
6) Keine Wendepunkte
Das hast du (Marc) ja schon nachgesehen.
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß wie ich das zeichnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Sa 27.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallogan,
> Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich letztens
> bei der Nachhilfe bearbeitet habe.
> Aufgabe:
> [mm]\bruch{1}{x^3-4x}[/mm]
> Habe schon folgendes ausgerechnet:
> 1)Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zur y-Achse
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)[mm]D=\IR \{0,2,-2\}[/mm]
> Pole: 0: Pol mit Vorzeichenwechsel
> von + nach -.
> 2: Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
> -2: POl mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
> 3)Keine Nullstellen.
> 4)Näherungsfunktion ist y=0
, und natürlich die senkrechten Asymptoten nicht vergessen.
> 5) Extremstellen: [mm]H(\wurzel{\bruch{3}{4}}|-0,32)[/mm]
> [mm]T(-\wurzel{\bruch{3}{4}}|0,32)[/mm]
Zähler und Nenner vertauscht? Ich habe da das raus:
[mm]H(\wurzel{\bruch{4}{3}}|-0,32)[/mm]
[mm]T(-\wurzel{\bruch{4}{3}}|0,32)[/mm]
> 6) Keine Wendepunkte
> Das hast du (Marc) ja schon nachgesehen.
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß wie ich
> das zeichnen soll.
Zunächst würde ich vielleicht die senkrechten Asymptoten an den Stellen -2,0 und 2 einzeichnen. Zusätzlich mit der waagerechten Asymptote und den Vorzeichenwechseln an den Polstellen entstehen so doch schon mal "Aufenthaltsbereiche" des Graphen:
Im Intervall [mm] $]-\infty;-2[$ [/mm] liegt er ganz unterhalb der x-Achse, im Intervall $]-2;0[$ oberhalb usw.
So bleibt dir doch gar nicht mehr viel Spielraum den Graphen zu zeichnen, er muß schließlich auch noch den Asymptoten beliebig nahe kommen. Das Einzeichnen des Hoch- und Tiefpunktes ist dann nur noch eine Detailverbesserung.
Zum Vergleich habe ich den Graph auch mal gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alles Gute und üb' noch viel, diesmal will ich eine 1 sehen 
--Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 27.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ok, aber wieso muss man noch links unten und rechts oben diese "Kurven" einzeichnen? Wie funktioniert das?
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Ein paar deiner Schlußfolgerungen sind leider falsch.
I. Die Funktion hat in 0,0 einen Tiefpunkt - keinen Hochpunkt!
II. Die Funktion besitzt tatsächlich zwei Wendestellen. Setze die 2. Ableitung doch mal gleich null, dann findest du sie leicht!
Die Funktion dürfte Aussehen wie ein U, allerdings sind die oberen Enden des U stark nach außen gezogen, so daß sie im Unendlichen Parallelität zur x-Achse erreichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ich sehe das genau so wie Stefan.
Ich finde es wichtig, dass du Intersse daran hattest mir zu helfen.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 28.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Logan,
deine Antworten sind alle richtig. Die folgende Zeichnung bestätigt zudem deine Angaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
> Jetzt alles klar?
Ja, so hab ich mir das auch vorgestellt. War mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
Danke dir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallogan,
> Ich schätze mal, dass ich als einfaches Mitglied keine
> Möglichkeit habe, Daten (wie z.B. Bilder etc.) hoch zu
> laden, oder?
Ich habs ja gerade schon in einem anderen Beitrag beschrieben, wollte aber noch die Links zu der Dokumentation geben:
Forumbedienung
und
FAQ
--Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
> Niemals, das liegt mir so fern wie meine Tastatur, auf der ich gerade schreibe.
Unverschämt.
> Ungeduldig auf deine weiteren Übungsaufgaben wartend,
Ok, kein Thema. Ich habe da noch ein paar Fragen.
Wie war das noch mal, wenn die Werte des Definitionsbereiches mit den Werten der Nullstellen übereinstimmen? Was muss ich da noch mal machen? Ich weiß nur noch, dass ich mittels der Polynomdivision irgendwas ausrechnen soll.
Die nächste Frage ist, wie ich folgenden Term umforme, damit ich den Vorzeichenwechsel der Pole bestimmen kann.
Funktion: [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-4x+3}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallogan,
> > Ungeduldig auf deine weiteren Übungsaufgaben wartend,
> Ok, kein Thema. Ich habe da noch ein paar Fragen.
Das nächste Mal dann neuen Fragen in einen neuen Diskussionsstrang, weil es so doch recht unübersichtlich wird.
> Wie war das noch mal, wenn die Werte des
> Definitionsbereiches mit den Werten der Nullstellen
> übereinstimmen? Was muss ich da noch mal machen? Ich weiß
Du meinst, wenn die Nullstellen des Nenners mit den Nullstellen des Zählers übereinstimmen? (Was du fragst, macht irgendwie keinen Sinn bzw. ich bin mir ziemlich sicher, dass du es so nicht meinst: Eine Funktion, die nur an den Nullstellen definiert ist?)
> nur noch, dass ich mittels der Polynomdivision irgendwas
> ausrechnen soll.
Genau, du betrachtest statt der eigentlich Funktion $f$ eine Hilfsfunktion [mm] $\tilde [/mm] f$, die aus $f$ folgendermaßen durch Polynomdivision hervorgegangen ist: Ermittle die gemeinsamen Nullstellen des Zählers und Nenners von $f$, sagen wir $a$ und $b$.
Nun führst du zwei Polynomdivisionen durch:
1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Zähler von [mm] $\tilde [/mm] f$
2. Nenner von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von [mm] $\tilde [/mm] f$
(Bei nur einer gemeinsamen Nullstelle dividierst du entsprechend nur durch (x-a), bei drei gemeinsamen Nullstellen durch (x-a)(x-b)(x-c) usw.)
Bis auf die Definitionslücken von $f$ (die nicht auch Definitionslücken von [mm] $\tilde [/mm] f$ sind) stimmen die beiden Funktionen ja überein, insbesondere haben sie die gleichen Polstellen.
Der Vorteil von [mm] $\tilde [/mm] f$ gegenüber $f$ ist nun aber, dass es beim Zähler und Nenner von [mm] $\tilde [/mm] f$ keine gemeinsamen Nullstellen mehr gibt, die Polstellen also genau die Nullstellen des Nenners von [mm] $\tilde [/mm] f$ sind.
> Die nächste Frage ist, wie ich folgenden Term umforme,
> damit ich den Vorzeichenwechsel der Pole bestimmen kann.
> Funktion: [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-4x+3}[/mm]
Zunächst einmal natürlich die Nullstellen des Nenners bestimmen: [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=3$.
[/mm]
Jetzt könntest du entweder schreiben
[mm] $f(x)=\bruch{1}{(x-1)(x-3)}$ [/mm] und wie gehabt untersuchen, welche Vorzeichen f kurz vor und kurz nach den Definitionslücken hat.
Oder du könntest drei Funktionswerte ausrechnen, das ist meiner Meinung nach das einfachste:
$f(0)=...>0$
$f(2)=...<0$
$f(4)=...>0$
Die Stellen 0,2,4 sind so gewählt, dass zwischen zwei benachbarten Stellen genau eine Definitionslücke liegt (und keine Nullstelle).
An der Stelle 1 haben wir also einen VZW von + nach - und an der Stelle 3 von - nach +.
--Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Bei dem Problem, das man mit der Polynomdivision lösen muss, handelt es sich doch um eine hebbare Definitionslücke, oder nicht?
Könntest du mir nicht eine AUfgabe dazu stellen, anhand der ich das üben kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Halllogan,
> Bei dem Problem, das man mit der Polynomdivision lösen
> muss, handelt es sich doch um eine hebbare
> Definitionslücke, oder nicht?
> Könntest du mir nicht eine AUfgabe dazu stellen, anhand
> der ich das üben kann?
[mm] $f(x)=\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}$
[/mm]
Untersuche $f$ auf Definitionslücken, Nullstellen, Polstellen, hebbare Def.-lücken und Asymptoten.
Viel Spaß!
--Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ok.
Definitionslücken: [mm]D=\IR \ {5;2\}[/mm]
Nullstellen: x= 5 v x= 2
hebbare Difinitionslücken:
[mm]x^2-5x+6 : (x-2)= x-3[/mm]
[mm]x^2-7x+10 : (x-2) = x-5[/mm]
So, wie ich jetzt weiter machen soll, ist mir noch etwas unklar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
> Da nun [mm]\tilde f(2)\neq 0, war x=2 [/mm] eine hebbare
> Definitionslücke.
Ok, aber was mach ich jetzt mit der 2? Zeichne ich die ganauso ein, wie ich das bei jeder anderen Definitionslücke auch mache, oder wie?
Und ist die 2 nicht auch ein Pol.
Ich dachte jede Definitionslücke wäre ein Pol, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallogan,
> > Da nun [mm]\tilde f(2)\neq 0, war x=2[/mm] eine hebbare
> > Definitionslücke.
> Ok, aber was mach ich jetzt mit der 2? Zeichne ich die
> ganauso ein, wie ich das bei jeder anderen Definitionslücke
> auch mache, oder wie?
> Und ist die 2 nicht auch ein Pol.
> Ich dachte jede Definitionslücke wäre ein Pol, oder nicht?
Nein, man unterscheidet drei verschiedene Arten von Definitionslücken, die sich gegenseitig ausschliessen:
i) Polstelle
ii) hebbare Definitionslücke
iii) Sprungstelle
ad i)
Wie Polstellen aussehen, dürfte ja mittlerweile klar sein, das sind Stellen, an denen senkrechte Asymptoten liegen
ad ii)
Eine hebbare Definitionslücke wirkt sich auf den Graph folgendermaßen aus: Er hat an der hebbaren Def.-lücke eine klitzekleine Unterbrechung, es fehlt eben nur ein einziger Punkt. Exakt einzeichnen kann man es nicht, man macht es aber durch eine Lücke kenntlich, die man zusätzlich "umkreist".
Die hebbaren Deflücken haben ihren Namen offensichtlich von der Tatsache, dass man nur einen weiteren Punkt in den Graphen einsetzen muß um ihn stetig ("durchgängig gezeichnet") zu machen.
ad iii)
Sprungstellen können bei rationalen (=gebrochen rationalen) Funktionen nicht auftreten, seien hier aber der Vollständigkeit halber erwähnt. Beispiel einer solchen Funktion ist
f(x) = x, falls x < 0 und
f(x) = x+1, falls x>=0
f hat an der Stelle 0 eine Sprunstelle, die Sprunghöhe ist 1.
Zurück zu deiner Aufgabe.
An der Stelle 2 haben wir ausschließlich eine hebbare Defintionslücke.
--marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ok,
Definitionslücken: x=5
Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
x=2 ist hebbare Definitionslücke.
Näherungsfunktion ist y=1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Was ist eigentlch, wenn ein Pol keinen Vorezeichenwechsel hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Was ist eigentlch, wenn ein Pol keinen Vorezeichenwechsel
> hat?
Wie meinst du das? Wie man das rechnerisch erkennt oder wie es gezeichnet aussieht?
--marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Wie das gezeichnet aussieht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan!
> Wie das gezeichnet aussieht.
Ich habe mal beispielhaft die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{1}{(x-1)^2}$ [/mm] gezeichnet; die hat an der Stelle x=1 eine Polstelle ohne VZW:
[Dateianhang nicht öffentlich]
--marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Aha.
Da hab ich direkt noch eine Frage. Muss ich bei [mm][mm] \bruch{1}{(x-1)^2}
[/mm]
auch noch was umformen um die Pole zu überprüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Da hab ich direkt noch eine Frage. Muss ich bei
> [mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm]
> auch noch was umformen um die Pole zu überprüfen?
Nein, denn folgendes ist ja direkt ablesbar:
Zähler: Keine Nullstellen
Nenner: Nullstelle bei x=1
Damit haben Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen, an der Stelle x=2 haben wir also auf jeden Fall einen Pol.
--marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Nein, ich meinte, ob ich etwas im Nenner umformen muss.
also z.B. aus [mm]x^2-1[/mm] [mm](x-1)*(x+1)[/mm] machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Nein, ich meinte, ob ich etwas im Nenner umformen muss.
> also z.B. aus [mm]x^2-1[/mm] [mm](x-1)*(x+1)[/mm] machen.
Diese kleine Rechnung hat hoffentlich nichts mit meiner Beispielfunktion zu tun und ist nur deiner Phantasie entsprungen, hoffe ich.
Für die Berechnungen der Nullstellen (des Zählers oder des Nenners) ist es immer vorteilhafter, diese von einen Produkt und nicht von einer Summer zu berechnen (da ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist.) Also nicht ausmultiplizieren, sondern schreiben:
Nullstellen des Nenners
[mm] $(x-1)^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x-1=0$
[mm] $\gdw [/mm] x=1$
--marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ok, und um den Pol nach einem VZW zu überprüfen,
schau ich einfach links von 1 ([mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] ich muss im Nenner also nichts umformen???) und rechts von 1, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ok, und um den Pol nach einem VZW zu überprüfen,
> schau ich einfach links von 1 ([mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] ich muss
> im Nenner also nichts umformen???) und rechts von 1,
> richtig?
Ja, könntest du genau so machen.
Oder du bist geschickt und siehst, dass der Nenner als Quadrat eines Terms nie negativ sein kann und damit $f$ keine negativen Funktionswerte besitzt. Da wir schon wissen, dass $f$ bei x=1 einen Pol hat, bleibt nur ein Pol ohne VZW, also von + nach +.
--marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
Ok, damit wären alle meine Fragen beantwortet.
Vielen Dank noch mal an dich (Marc) und an alle anderen, die mir bei der Vorbereitung auf meine Klausur geholfen haben.
Bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ok, damit wären alle meine Fragen beantwortet.
> Vielen Dank noch mal an dich (Marc) und an alle anderen,
> die mir bei der Vorbereitung auf meine Klausur geholfen
> haben.
Alles klar, dann mal viel Erfolg. Du kannst recht zuversichtlich in die Klausur gehen.
Alles Gute,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Definitionslücken: x=5
> Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
> x=2 ist hebbare Definitionslücke.
> Näherungsfunktion ist y=1
Man weiß zwar, was du meinst, aber es so ganz 100%ig sind deine Angaben nicht:
Definitionslücken: x=5, x=2
Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)
Bei x=2: Hebbare Definitionslücke (der Punkt der Lücke hat die Koordinaten: [mm] $(2|\bruch{1}{3})$
[/mm]
Näherungsfunktion: y=1
Asymptoten: y=1 und x=5
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
> Definitionslücken: x=5, x=2
> Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)
Das kann nicht sein. Ich hab einen VZW von + nach -
Links von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)(x-5)}[/mm]
Du weißt ja wie ich das überprüf!
Und da kommt [mm]+\infty [/mm] raus.
Rechts von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)*(x-5)}[/mm]
Da ist [mm]-\infty [/mm]
Wieso hast du einmal "Näherungsfunktion y=1" stehen und dann noch "Asymptote y=1"???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> > Definitionslücken: x=5, x=2
> > Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)
> Das kann nicht sein. Ich hab einen VZW von + nach -
Moment, wir hatten doch die Funktion
[mm] $f(x)=\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}=\bruch{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-5)}$
[/mm]
> Links von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)(x-5)}[/mm]
Wie kommst du also auf diesen Bruch, insebesondere den Zähler?
> Du weißt ja wie ich das überprüf!
> Und da kommt [mm]+\infty[/mm] raus.
Für deinen Bruch schon, bitte überpürfe noch mal, woher der Bruch kommt.
> Rechts von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)*(x-5)}[/mm]
> Da ist [mm]-\infty[/mm]
> Wieso hast du einmal "Näherungsfunktion y=1" stehen und
> dann noch "Asymptote y=1"???
Näherungsfunktion ist eigentlich überflüssig aufzuführen, ich wußte aber nicht, wie Ihr das in der Schule macht.
Also, es reicht zu sagen, Asymptoten x=5 und y=1.
Daraus ergibt sich automatisch, dass y=1 (als einzige Funktion unter den Asymptoten) die Näherungsfunktion ist.
--marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 28.03.2004 | | Autor: | Logan |
> 1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von [mm] $\tilde [/mm]
> f$
Du meintest wohl: 1.Zähler von [mm]f(x) : (x-a)*(x-b) = ... =[/mm] Zähler von [mm]\tilde f[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallogan,
> > 1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von
> [mm] $\tilde [/mm]
> > f$
> Du meintest wohl: 1.Zähler von [mm]f(x) : (x-a)*(x-b) = ... =[/mm]
> Zähler von [mm]\tilde f[/mm]
Ja, danke, habe ich jetzt verbessert. Hast den Aufmerksamkeitstest bestanden
--marc
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
, ich habe als Nullstellen x=2 oder x=3 raus.
