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| Aufgabe | Von der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{(ln(3x))^2}{x}
[/mm]
bestimme man Nullstellen,lokale Extremstellen, untersuche, ob es sich um eine Minimal- bzw. Maximalstelle handelt, das Verhalten für x [mm] \mapsto [/mm] 0+ ,x [mm] \mapsto \infty [/mm] und skizziere den Graphen der Funktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Herangehensweise:
1.Nullstellen: f(x)=0
(x>0)
[mm] (ln(3x))^2=0
[/mm]
[mm] e^{ln(3x)}=1
[/mm]
3x=1
[mm] x=\bruch{1}{3}
[/mm]
2.Extrema: f'(x)=0 und f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] f'(x)=\bruch{2ln(3x)-(ln(3x))^2}{x^2}
[/mm]
[mm] 2ln(3x)=(ln(3x))^2 [/mm]
2=ln(3x)
[mm] e^2=3x
[/mm]
[mm] x=\bruch{e^2}{3} [/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2-6ln(3x)-2(ln(3x))^2}{x^3}
[/mm]
[mm] f''(\bruch{e^2}{3})=\bruch{-162}{e^6}<0 \Rightarrow [/mm] rel.max.
[mm] f(\bruch{e^2}{3})=\bruch{3*(ln(e^2))^2}{e^2}=\bruch{6*ln(e))^2}{e^2}=\bruch{6^2}{e^2}=\bruch{36}{e^2}
[/mm]
3.Asymptoten im Unendlichen:
Im Papula auf S.87 steht geschrieben das man bei unecht gebrochenen rationalen funktionen zunächst eine polynomdivision durchführen muss.
Doch weiß ich nicht wie ich das mit dem ln machen soll:
[mm] (ln(3x))^2 [/mm] : x = ???
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> 2.Extrema: f'(x)=0 und f''(x) [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]f'(x)=\bruch{2ln(3x)-(ln(3x))^2}{x^2}[/mm]
> [mm]2ln(3x)=(ln(3x))^2[/mm]
Im nächsten Umformungsschritt liegt das Problem. Setz hier mal [mm]x = \bruch{1}{3}[/mm] ein und guck, ob dann die obige Gleichung stimmt!
Dann setze es hier ein, und sieh nach, ob die Gleichung immer noch stimmt:
> 2=ln(3x)
Wahrscheinlich nicht. Bei deiner Umformung hast du nämlich durch [mm] \ln(3x) [/mm] geteilt, obwohl das doch auch für ein bestimmtes x 0 werden kann, nämlich für [mm]x = \bruch{1}{3}[/mm]. Du teilst also gewissermaßen "durch 0" und deine Umformung ist nicht äquivalent, denn für [mm]x = \bruch{1}{3}[/mm] gilt sie nicht mehr. Hier zwei Beispiele, wie du dem Desaster  entgehst:
1. Möglichkeit:
[mm]2*\ln(3x)=(\ln(3x))^2[/mm]
Für [mm]\ln(3x) = 0[/mm] erhält man die erste Lösung: [mm]x = \bruch{1}{3}[/mm]. Sei im Folgenden [mm]x \not= \bruch{1}{3}[/mm]
[mm]\gdw 2=\ln(3x)[/mm]
[mm]\gdw x=\bruch{e^{2}}{3}[/mm].
2. Möglichkeit:
[mm]2*\ln(3x)=(\ln(3x))^2[/mm]
[mm]\gdw 0=(\ln(3x))^2 - 2*\ln(3x)[/mm]
[mm]\gdw 0=\ln(3x)*\left(\ln(3x) - 2\right)[/mm]
Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird... Dann erhälst du wieder zwei Gleichungen mit den obigen Lösungen.
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> [mm]f''(x)=\bruch{2-6ln(3x)-2(ln(3x))^2}{x^3}[/mm]
In der zweiten Ableitung ist ein Fehler. Loddar kam auf das richtige Ergebnis, weil er wahrscheinlich "seine eigene" zweite Ableitung benutzt hat. Trotzdem kommst du leider nicht auf das Ergebnis was du mit obiger zweite Ableitung erhalten müsstest. Ich zeige dir, wo dein Fehler ist:
> [mm]f''(\bruch{e^2}{3})=\bruch{2-12*ln(e^1)-2*(2*ln(e^1))^2}{\bruch{e^6}{\red{9}}}[/mm]
Anstatt der 9 müsste eine 27 stehen... [mm]\left(\bruch{e^{2}}{3}\right)^{3} = \bruch{e^{6}}{3^{3}}[/mm] steht im Nenner... Merks dir, du wirst es gleich nochmal brauchen, wenn du [mm] \bruch{e^{2}}{3} [/mm] in die richtige zweite Ableitung einsetzt:
[mm]f''(x)_{richtig}=\bruch{2-6ln(3x)\red{+}2(ln(3x))^2}{x^3}[/mm]
Die Überprüfung, wo dein Fehler bei der Berechnung der zweiten Ableitung jetzt genau war, überlasse ich dir!
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> 3. Asymptoten
> für x [mm]\mapsto \infty[/mm] erhalte ich folgendes:
>
> [mm]f(x)=\bruch{(ln(3x))^2}{x}=\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
> somit kann ich die regel von l´hopial anwenden.
OK, man schreibt aber (hübscher):
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{(ln(3x))^2}{x}\right) [/mm] = [mm] "\bruch{\infty}{\infty}"
[/mm]
> erstes mal abgeleitet ergibt:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{2*ln(3x)}{x}}{1} =\bruch{2*ln(3x)}{x} =\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> hier schon meine erste frage:
> darf ich [mm]\bruch{\bruch{2*ln(3x)}{x}}{1}[/mm] zu
> [mm]\bruch{2*ln(3x)}{x}[/mm] umformen, wenn ich diesen term wieder
> ableiten will?
> denn immerhin leite ich ja bei l´hospital den zähler und
> den nenner einzeln unabhängig voneinander ab und verwende
> nicht die quotientenregel.
Genau. Du darfst die Umformung tätigen. Wenn du abgeleitet hast, willst du doch wieder den Grenzwert berechnen, und dann ist es wieder völlig erlaubt, alle (richtigen) Umformungen mit dem Term anzustellen, die dich weiterbringen. Auch hier nochmal was zur Form: Wie du schon gesagt hast, leitet man Zähler und Nenner einzeln ab, deswegen darfst du nicht
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{2*ln(3x)}{x}}{1} =\bruch{2*ln(3x)}{x} =\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
schreiben, das ist so nämlich falsch. Du schreibst besser etwas in der Art:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
= \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{(ln(3x))^2}{x}\right) \overset{L'H}{=}\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\left((ln(3x))^2\right)'}{\left(x\right)'}\right)
= \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\bruch{2*\ln(3x)}{x}}{1}\right)[/mm]
(Siehst du, wir sind nach dem Ableiten wieder beim Grenzwert-Berechnen und können alle möglichen Umformungen machen!)
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{2*\ln(3x)}{x}\right)
[/mm]
Und nun haben wir wieder eine [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] - Form, du hast richtig erkannt, dass wir nochmal ableiten müssen (nochmal L'Hospital anwenden müssen).
> [mm]f''(x)=\bruch{\bruch{2}{x}}{1}=\bruch{2}{x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{2}{x}\right)=0[/mm]
Das ist richtig. Bemerkungen zur Schreibweise siehe oben
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> ich merke grad das meine überschrift ungünstig gewählt ist
> "asymptoten im unendlich und asymptoten bei null" sind ja
> gesucht und hier tritt nun folgendes problem auf, wenn ich
> x gegen null laufen lasse von rechts, dann kann ich
> l´hospital nicht anwenden weil:
>
> [mm]f(x)=\bruch{(ln(3x))^2}{x}=\bruch{\infty}{0}[/mm]
Schreibweise!
> ich schaffs nicht den term so umzuformen, dass dort
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] oder [mm]\bruch{0}{0}[/mm] steht.
Musst du auch nicht. Etwas sehr großes durch etwas sehr kleines ist immer [mm] \pm\infty. [/mm] Guck:
[mm] \bruch{1000}{0.001} [/mm] = 1000000
[mm] \bruch{1000000}{0.000001} [/mm] = 1000000000000
...
Also ist hier
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
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okay ich hab jetzt alles nochmal gerechnet und hab jetzt folgende ergebnisse heraus:
Nullstellen:
[mm] x=\bruch{1}{3}
[/mm]
Extrempunkte:
[mm] P_1(\bruch{1}{3}/ [/mm] 0)
[mm] P_2(\bruch{e^2}{3} [/mm] / [mm] \bruch{12}{e^2})
[/mm]
Verhalten im Unendlichen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=0
[/mm]
Verhalten bei Null:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0+}=\infty
[/mm]
Wie soll ich die überschrift wählen. beim ersten kann ich ja schreiben verhalten der asymptote im unendlichen.
was kann ich denn beim zweiten schreiben, verhalten der asymptote bei null?
den graphen hab ich skiziert nur kann ich wenn ich ihn bei maple zum vergleich zeichnen lasse, den maximalen punkt nicht sehen. ich lass bei maple den graphen von x=0 bis x=3 zeichnen.
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> Musst du auch nicht. Etwas sehr großes durch etwas sehr
> kleines ist immer [mm]\pm\infty.[/mm] Guck:
>
> [mm]\bruch{1000}{0.001}[/mm] = 1000000
>
> [mm]\bruch{1000000}{0.000001}[/mm] = 1000000000000
>
>
> Also ist hier
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
ist das denn so ausreichend das hinzuschreiben bei einer klausur, dass man das sieht? oder kann man das auch irgendwie "mathematisch" zeigen?
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> Schreibe doch einfach: "Verhalten für [mm]x \to 0^{+}[/mm]"
>
ok dann werd ich das tun.
nur nochmal zum verständnis, die gerade die parallel zur x achse verläuft und an die sich der graph anschmiegt wird doch als asymptote bezeichnet. und die y achse als ordinate oder?
irgendwie hab ich aber auch im hinterkopf das mit ordinate einfach ein y wert bezeichnet wird der abhängig von x ist.
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> > >
> > > Musst du auch nicht. Etwas sehr großes durch etwas sehr
> > > kleines ist immer [mm]\pm\infty.[/mm] Guck:
> > >
> > > [mm]\bruch{1000}{0.001}[/mm] = 1000000
> > >
> > > [mm]\bruch{1000000}{0.000001}[/mm] = 1000000000000
> > >
> > >
> > > Also ist hier
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> > >
> >
> > ist das denn so ausreichend das hinzuschreiben bei einer
> > klausur, dass man das sieht? oder kann man das auch
> > irgendwie "mathematisch" zeigen?
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Hallo BlubbBlubb,
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> > Schreibe doch einfach: "Verhalten für [mm]x \to 0^{+}[/mm]"
> >
>
> ok dann werd ich das tun.
>
> nur nochmal zum verständnis, die gerade die parallel zur x
> achse verläuft und an die sich der graph anschmiegt wird
> doch als asymptote bezeichnet. und die y achse als ordinate
> oder?
Bei der Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, spricht man von einer "waagrechten Asymptoten"
Im Falle der y-Achse spricht man von einer "senkrechten Asymptoten".
Alternativ kannst Du also auch diese Überschriften wählen.
Mehr dazu findest Du hier: Asymptote
> irgendwie hab ich aber auch im hinterkopf das mit ordinate
> einfach ein y wert bezeichnet wird der abhängig von x ist.
Der y-Wert in einem Koordintensystem wird als Ordinate bezeichnet.
Der x-Wert in einem Koordin]tensystem wird als Abszisse bezeichnet.
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Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 29.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay vielen dank für die hilfe, hab ein paar sehr hilfreiche sachen durch euch zugelernt!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier unterschlägst Du eine mögliche Lösung, indem Du einfach durch [mm] $\ln(3x)$ [/mm] dividierst.
de l'Hospital