Kurvendiskussion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | führen sie eine vollständige kurvendiskussion zur funktion [mm] f(x)=\bruch{x^{3}}{x²-1} [/mm] |
1. symmetrie:
f(-x)=-f(x) also: punktsymmetrie zum koordinaten ursprung
2. polstellen:
polstelle bei -1 und 1
3. verhalten für [mm] x\to\pm\infty:
[/mm]
[mm] x\to\pm\infty=0 [/mm] auf lange sicht x²
4. Nullstellen:
f(x)=0
[mm] 0=\bruch{x^{3}}{x²-1}
[/mm]
[mm] 0=x^{3}
[/mm]
0=x
Nullstelle bei x=0
5. y-Achsenschnittstellen:
f(0)=0
Schnittstelle bei y=0
Schnittpunkt (0/0)
6. Estremstellen:
f´(x)=0
[mm] 0=\bruch{x^{4}-3x²}{(x²-1)²}
[/mm]
[mm] 0=x^{4}-3x²
[/mm]
0=x(x³-3x)
0=x oder 0= x³-3x
0=x Bedingung erfüllt also untersuchung von [mm] f''(0)\not=0
[/mm]
f [mm] ´´(0)=\bruch{2(0³+3*0)}{(0²-1)³}
[/mm]
f´´(0)=0
bedingung nciht erfüllt --> keine extremstellen
7. Wendepunkte: (Nun such ich meinen fehler, da der graph aus dem rechner ncih tmit meinen nun folgenden berechnung überseinstimmt)
f´´(0)=0
o=2(x³+3x)
0=x³+3x
0=x oder 0=x²+3
f´´´ [mm] (0)=\bruch{-6(0^{4}+6/0²+1)}{(0²-1)^{4}}
[/mm]
demnach müsste ich einen wendepunkt bei 0/6 haben. der sit im graphen allerdingsd woanders und nun find eihv meinen fehler nciht. würde mich freuen,w enn ihr euch das mal anschaut. der wendepunkt sollte ca bei 1,6/2,7 liegen
lg jenny
|
|
| |
|
Ich weiß, dass hier wirklich nette Leute sind und auch gerne helfen,w enn sie Zeit haben.
Wir haben diese Aufgabe heute angefangen mit dem limes und denr est habe ich gemacht. morgen schreiben wir die arbeit und ich habe keine weitere zeit den lehrer zu fragen. meine klassenkameraden haben die erst gar nciht weiter gemacht.
ihr seid also meine letzte hoffnung. liebe grüße
jenny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Di 07.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jennifer,
> führen sie eine vollständige kurvendiskussion zur funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^{3}}{x²-1}[/mm]
> 1. symmetrie:
>
> f(-x)=-f(x) also: punktsymmetrie zum koordinaten ursprung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. polstellen:
>
> polstelle bei -1 und 1
>
> 3. verhalten für [mm]x\to\pm\infty:[/mm]
>
> [mm]x\to\pm\infty=0[/mm] auf lange sicht x²
das verstehe ich nicht.
Die Kurve hat eine schräge Asymptote. Die Gleichung erhälst Du, wenn Du eine Polynomdivision durchführst.
>
> 4. Nullstellen:
>
> f(x)=0
>
> [mm]0=\bruch{x^{3}}{x²-1}[/mm]
> [mm]0=x^{3}[/mm]
> 0=x
>
> Nullstelle bei x=0
>
> 5. y-Achsenschnittstellen:
>
> f(0)=0
>
> Schnittstelle bei y=0
>
> Schnittpunkt (0/0)
>
> 6. Estremstellen:
>
> f´(x)=0
>
> [mm]0=\bruch{x^{4}-3x²}{(x²-1)²}[/mm]
> [mm]0=x^{4}-3x²[/mm]
> 0=x(x³-3x)
> 0=x oder 0= x³-3x
>
> 0=x Bedingung erfüllt also untersuchung von [mm]f''(0)\not=0[/mm]
besser:
[mm]0=x^{4}-3x²[/mm]
$ 0 = [mm] x^2 (x^2-3) [/mm] $
$ x = 0 [mm] \vee [/mm] x = [mm] \wurzel{3} \vee [/mm] x = [mm] -\wurzel{3} [/mm] $
>
>
> f [mm]´´(0)=\bruch{2(0³+3*0)}{(0²-1)³} [/mm]
> f´´(0)=0
Die 2. Ableitung stimmt nicht. Siehe unten.
Sie stimmt doch
>
> bedingung nciht erfüllt --> keine extremstellen
>
>Das kannst Du noch nicht sagen, da die Bedingung nicht notwendig ist. Bei der Berechnung der Wendestellen ergibt sich aber x=0 als Wendestelle, also keine Extremstelle.
Die weiteren Nullstellen von f' musst Du noch untersuchen.
>
> 7. Wendepunkte: (Nun such ich meinen fehler, da der graph
> aus dem rechner ncih tmit meinen nun folgenden berechnung
> überseinstimmt)
>
> f´´(0)=0
>
> o=2(x³+3x)
> 0=x³+3x
> 0=x oder 0=x²+3
Hier hast Du offensichtlich eine falsche 2. Ableitung. Mein Ergebnis für f'' ist:
$ f''(x) = [mm] \bruch{x^5 + 12x^3 + 6x}{(x^2-1)^3} [/mm] $
Entschuldige, ich habe mich vertan, die 2. Ableitung ist
$ f''(x) = [mm] \bruch{2x^3 + 6x}{(x^2-1)^3} [/mm] = [mm] \bruch{2 ( x^3 + 3x)}{(x^2-1)^3}$
[/mm]
Du hattest also Recht.
>
> f´´´ [mm](0)=\bruch{-6(0^{4}+6/0²+1)}{(0²-1)^{4}}[/mm]
>
> demnach müsste ich einen wendepunkt bei 0/6 haben.
Nein der Wendepunkt ist W(0;0). Der Funktionswert an der Stelle 0 ist doch, wie Du oben schon ausgerechnet hast gleich 0.
> der sit
> im graphen allerdingsd woanders und nun find eihv meinen
> fehler nciht. würde mich freuen,w enn ihr euch das mal
> anschaut. der wendepunkt sollte ca bei 1,6/2,7 liegen
Das kann nicht stimmen. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung, muss der Ursprung Wendepunkt sein (es sei denn, Du hast eine Ursprungsgerade). Wenn an der Stelle 1,6 ein Wendepunkt läge, müsste auch an der Stelle -1,6 einer liegen.
Gruß
Sigrid
>
> lg jenny
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
erstmal vielen dank für deine hilfe
wie berechne ich denn die weiteren nullstellen? ich habe zwar anhand des grapfen gesehen, dass es noch welche gibt, das gleiche gilt für die wendestellen, trotzdem weiß ich nicht wie ich davon mehrere berechnen kann.
des weiteren habe ich nun öfters in den taschenrechner die funktion ableiten lassen und erhalte jedes mal als ergebnis
f´´ [mm] (x)=\bruch{2(x³+3x)}{(x²-1)³}
[/mm]
habe sicher keien tipfehler
bedanke mich im voraus für eure antworten
lg jenny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 07.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
Deine 2. Ableitung ist korrekt. Diese habe ich auch erhalten.
Für die weiteren Nullstellen musst Du jeweils das Prinzip des Nullproduktes anwenden.
Demnach ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren Null wird:
[mm] $$x^4-3x^2 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x^2*\left(x^2-3\right) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x^2*\left(x-\wurzel{3} \ \right)*\left(x+\wurzel{3} \ \right) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x^2 [/mm] \ = \ 0 \ [mm] \text{ oder } [/mm] \ [mm] \left(x-\wurzel{3} \ \right) [/mm] \ = \ 0 \ [mm] \text{ oder } [/mm] \ [mm] \left(x+\wurzel{3} \ \right) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
vielen dank für deine antwort...
bleibt nur noch die frage aus der ersten frage, wo ich meinen fehler bei den wendepunkten habe und warum mein ergebnis nciht mit dem des graphen übereinstimmt.
das ist mir noch wichtig,w eil ich den wurm darin einfach nciht finden kann.
jenny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 07.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jennefer,
Entschuldige den Fehler bei der 2. Ableitung. Ich hab's in meiner ersten Antwort korrigiert.
> vielen dank für deine antwort...
>
> bleibt nur noch die frage aus der ersten frage, wo ich
> meinen fehler bei den wendepunkten habe und warum mein
> ergebnis nciht mit dem des graphen übereinstimmt.
Notwendige Bedingung für den Wendepunkt ist:
$ f'' (x)= 0 $
$ [mm] \gdw \bruch{2(x³+3x)}{(x²-1)³} [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] 2(x³+3x) = 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] x ( [mm] x^2+ [/mm] 3) = 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] x = 0 $ ( $ [mm] x^2+3=0 [/mm] $ liefert keine weitere Lösung.
Es gibt nur eine möglich Wendestelle. Dies ist auch eine Wendestelle, wie Du ja schon gesehen hast. Der Wendepunkt ist W(0;0). Soweit hattest Du die Rechnung ja wohl auch.
Der Punkt $ [mm] T(\wurzel{3}; [/mm] 1,5 [mm] \wurzel{3}) [/mm] $ ist Tiefpunkt (näherungsweise T(1,7;2,6))
Der Punkt $ H(- [mm] \wurzel{3}; [/mm] - 1,5 [mm] \wurzel{3}) [/mm] $ ist Hochpunkt des Graphen.
Der Wurm liegt also beim Graphen.
Gruß
Sigrid
>
> das ist mir noch wichtig,w eil ich den wurm darin einfach
> nciht finden kann.
>
> jenny
|
|
|
| |
|
vielen dank für eure hilfe, nun fühl ich mich wirklich sicherer, was die arbeit morgen angeht.
schönen abend noch
jenny
|
|
|
|
