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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
| Aufgabe | Führen Sie für fk(x)= x-k²*x³, k>0 eine Kurvendiskussion durch:
a) Bestimmen Sie die Grenzwerte von f k.
b) Begründen Sie, dass der Graph von f k punktsymmetrisch ist,
c) Berechnen Sie die Nullstellen.
d) Zeigen Sie rechnerisch, dass folgendes gilt: HP [mm] [1/\wurzel{3k} [/mm] | [mm] 2/(3\wurzel{3k}))] [/mm] und TP [mm] [-(1/\wurzel{3k}) [/mm] | [mm] -(2/(3\wurzel{3k})] [/mm]
e) Leiten Sie die Ortslinie der Hochpunkte her.
f) Begründen Sie ausgehend von Ihren Ergebnissen, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt. |
Meine Fragen beziehen sich zunaechst auf d), mir gelingt es nicht zu beweisen, dass dies gilt. Mir faellt es nicht leicht, die Ableitung zu bestimmen beziehungsweise ich komme nicht voran.
a) noch nicht gemacht
b) Fuer Punktsymmetrie gilt: f(-a) = -f(a)
fk(-x) = -x+k²*x³ und -fk(x)= -x+k²*x³
c) Fuer Nullstellen gilt: fk(x) = 0
fk(x) = 0
x-k²*x³ = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = k²*x³
d) 1. notwendige Bedingung : [mm] f'(x_{e})= [/mm] 0
2: hinreichende Bedingung : [mm] f''(x_{e})> \vee [/mm] < 0
Jetzt habe ich in der Formelsammlung die Produktregel
nachgesehen und dann muesste meiner Rechnung zur Folge
die 1. Ableitung f' = 1- (2k * x³+ k² * 3x²) lauten.
Mir gelingt es jedoch in keinster Weise auf
HP [mm] [1/\wurzel{3k} [/mm] | [mm] 2/(3\wurzel{3k}))]
[/mm]
TP [mm] [-(1/\wurzel{3k}) [/mm] | [mm] -(2/(3\wurzel{3k}) [/mm] zu kommen.
e) noch nicht gemacht
f) noch nicht gemacht, jedoch gilt bei Wendestellen:
1. notwendige Bedingung : [mm] f''(x_{w}) [/mm] = 0
2. hinreichende Bedingung : [mm] f'''(x_{w})\not= [/mm] 0
Außerdem handelt es sich um eine Sattelstelle,
wenn zusaetzlich [mm] f'(x_{w}) [/mm] = 0 ist.
Ich hoffe ihr koennt mir Tipps zu d) geben. (;
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 24.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Produktregel muss bei der Ableitung von [mm] k^2*x^3 [/mm] nicht angewandt werden, weil k eine Konstante darstellt, also [mm] (k^2*x^3)' [/mm] = [mm] k^2*3x^2.
[/mm]
(Wenn du die Produktregel unbedingt anwenden willst, dann musst du beachten, dass [mm] (k^2)' [/mm] = 0 ist, weil k nicht von x abhängt.)
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
Danke fuer die Hilfestellung, aber muesste dann der zu bestimmende x-wert nicht 1 [mm] /\wurzel{3}*k [/mm] sein und nicht wie vorgegeben [mm] 1/\wurzel{3*k} [/mm] ?
Grueße
ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 24.10.2010 | | Autor: | Sax |
Das stimmt.
Sonst würden sich auch die angegebenen y-Werte nicht ergeben, dort tritt übrigens derselbe Schreibfehler auf.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
Okay,
Vielen Dank, erstmal.
Wenn ich weitere Fragen habe, werde ich mich melden. (;
Grueße
Ich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
Wieder da (;
Ich wollte eben vergleichen, ob ich alles richtig gerechnet habe. Wie folgt sieht dann meine Rechnung aus:
fk(x) = x-k²*x³
fk'(x) = 1-3k²*x²
fk'(x) = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 1/ [mm] k\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = - 1/ [mm] k\wurzel{3}
[/mm]
Dann muessten die Extrempunkte meiner Rechnung nach bei
HP [ 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] | 1/ 3k]
TP [- 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] | - 1/ 3k] liegen.
[mm] fk(x_{1})= [/mm] 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] - k²* [1/ [mm] k\wurzel{3}] [/mm] ³
[mm] fk(x_{1})= [/mm] 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] - k²/ [mm] k³\wurzel{3} [/mm] ³
[mm] fk(x_{1})= [/mm] 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] - [mm] 1/k\wurzel{3} [/mm] ³
[mm] fk(x_{1})= [/mm] 1/ [mm] k\wurzel{3} [/mm] ²
[mm] fk(x_{1}) [/mm] = 1/ 3k
Dementsprechend habe ich mit [mm] fk(x_{2}) [/mm] verfahren.
Ist das korrekt? (;
Grueße
ich
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Hallo,
- Ableitung korrrekt
- Extremstellen korrekt
der Nachweis HP und TP ist aber erst noch über die 2. Ableitung zu erbringen
[mm] f(x_1)=f(\bruch{1}{\wurzel{3}*k})=\bruch{1}{\wurzel{3}*k}-k^{2}*(\bruch{1}{\wurzel{3}*k})^{3}=\bruch{1}{\wurzel{3}*k}-\bruch{k^{2}}{3*\wurzel{3}*k^{3}}=\bruch{1}{\wurzel{3}*k}-\bruch{1}{3*\wurzel{3}*k}= [/mm] ....
den Rest überlasse ich dir
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
Okay, :)
Stellt eigentlich kein Problem dar.
Danke fuer die Rueckmeldung.
Koenntest Du / Koennten Sie mir ein Tipp geben wie man den Grenzwert berechnet? also Aufgabe a)
Außerdem kommt bei mir in der Aufgabe e) die Ortslinie der Hochpunkte mit der Funktion g(x)= 0,6675x-3,478*10{-4} raus. Diese habe ich ermittelt in dem ich Hochpunkte der Funktion mit verschiedenen k-Werten errechnet habe und diese in eine lineare Funktion zusammengefasste.
Bei mir ergibt sich in f, dass es sich um einen Wendepunkt und sogar um eine Sattelstelle handelt.
Bin ich daran richtig rangegangen?
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Hallo,
a)
es ist zu bestimmen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)
[/mm]
e)
an den Stellen [mm] x_1_2=\pm\bruch{1}{\wurzel{3}*k} [/mm] liegen die Extremstellen
die 1. Ableitung lautet [mm] f'(x)=1-3*k^{2}*x^{2} [/mm] umgestellt [mm] k^{2}=\bruch{1}{3*x^{2}} [/mm] eingesetzt in die Funktion bekommst du [mm] g(x)=x-\bruch{1}{3*x^{2}}*x^{3}=\bruch{2}{3}x
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
f)
Was die Stelle x=0 betrifft, so untersuche mal f'''(0)
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 24.10.2010 | | Autor: | ich.... |
Tausend Dank (;
> a)
> es ist zu bestimmen [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)[/mm]
Also heißt Grenzwert, den Definitions- und Wertebereich bestimmen? Er grenzt doch ebenso [mm] \infty [/mm] im ersten Fall und [mm] -\infty [/mm] im zweiten Fall an, oder liege ich da etwa falsch?
Und nochmals tausend Dank. Sie haben / Du hast mir ziemlich weitergeholfen.
Grueße
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Hallo, wollte ich vorhin schon schreiben, wir sagen hier alle DU, bei der Bestimmung der Grenzwerte ist zu untersuchen, was passiert mit deiner Funktion, wenn du für x immer größere- (x gegen unendlich) bzw. immer kleinere Werte (x gegen minus unendlich) einsetzt, z.B. x=10, x=100, x=1000, x=10000 ......, bzw. x=-10, x=-100, x=-1000, x=-10000 ...... Steffi
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