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Hallo,
ich habe mal eine frage zu Kurfendiskussion.
Habe ich das richtig in Erinnerung das man bei einer Funktion den Nenner 0 setzen muss um die Polstelle und Def.lücke zu erhalten? und falls deie nullstelle des nenners gleich auch der nullstelle des zählers entspricht ist es eine def.lücke und ansonsten nur ne polstelle?
außerdem wie berechnet man senktrechte asymtoten? muss man sich von links und von rechts an seine polstelle annähren?
bei waagrechten asymtoten achtet man doch auf die potenzen der funktion oder? also mit zählergrad entspricht nennergrad usw....
ganz lieben gruß serious
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Hallo,
> ich habe mal eine frage zu Kurfendiskussion.
> Habe ich das richtig in Erinnerung das man bei einer
> Funktion den Nenner 0 setzen muss um die Polstelle und
> Def.lücke zu erhalten? und falls deie nullstelle des
> nenners gleich auch der nullstelle des zählers entspricht
> ist es eine def.lücke und ansonsten nur ne polstelle?
Das ist fast richtig.
Betrachte [mm] \frac{1}{(x-1)}
[/mm]
Das ist für x=1 nicht definiert, und hat dort eine Polstelle.
jetzt [mm] \frac{(x-1)}{(x-1)}=1
[/mm]
Du kannst den Term (x-1) rauskürzen, und dann ist die Funktion =1, es gibt also keine Polstellen. Allerdings besteht die Funktionsvorschrift eben aus dem bruch, und in den darfst du x=1 nicht einsetzen. Deshalb ist das eine Definitionslücke.
So weit hast du das richtig verstanden. Aber jetzt:
[mm] \frac{(x-1)^2}{(x-1)}=(x-1) [/mm]
hat nur eine Defintionslücke.
[mm] \frac{(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{1}{(x-1)} [/mm]
hat aber eine Polstelle, weil nach dem Kürzen die Nullstelle im Nenner bleibt!
D.h.: Ist der Grad der Nullstelle im Nennner höher als der Grad der gleichen Nullstelle im Zähler, ist es eine Polstelle, sonst eine Definitionslücke.
> außerdem wie berechnet man senktrechte asymtoten? muss
> man sich von links und von rechts an seine polstelle
> annähren?
Ja, am besten schreibst du dir Zähler und Nenner als Faktoren hin (dabei darfst du kürzen!)
Beispiel:
[mm] -\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)^2x}
[/mm]
Es gibt Polstellen bei [mm] $x=\pm1$ [/mm] und $x=0_$ Frage: Wie sieht die Asymptote für x=-1 aus, wenn man von links kommt? (Das wird gerne mit sowas wie [mm] $x\mapsto-1_-$ [/mm] bezeichnet)
Schreibe für jeden Faktor außer [mm] (x+1)^2 [/mm] drüber/drunter, ob er für x=-1 positv oder negativ ist.
Dann schau dir an, was [mm] (x+1)^2 [/mm] für Werte macht, die etwas kleiner als -1 sind. Wegen dem Quadrat ist das immer positiv! Also "+".
Vergiß auch nicht, daß vor dem bruch schon ein "-" steht!
[mm] \green{\underbrace{-}_{-}}\frac{\overbrace{(x-2)}^{-}\overbrace{(x+2)}^{+}}{\underbrace{(x-1)}_{-}\red{\underbrace{(x+1)^2}_{+}}\underbrace{x}_{-}}
[/mm]
Du hast hier also sechs Faktoren, von denen vier negativ sind. Wegen "minus mal minus ist plus" ist das Gesamtergebnis positiv, und der linke Ast dieser Polstelle geht gegen [mm] +\infty [/mm] . (der rechte auch, wegen dem Quadrat)
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