Kurvendiskussion (Betrag) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 31.10.2004 | | Autor: | MichiB. |
Hallo,
ich habe folgende Kurvendiskussion anzufertigen.
Und zwar: f(x) = | [mm] x^{3} [/mm] - 9x |
Mich irretieren die Betragstriche dabei.
Kann mir jemand helfen wie ich dabei vorgehen muß?
Vielen Dank auch
Michael
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:24 So 31.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Michael!
> Hallo,
> ich habe folgende Kurvendiskussion anzufertigen.
>
> Und zwar: f(x) = | [mm]x^{3}[/mm] - 9x |
>
> Mich irretieren die Betragstriche dabei.
>
> Kann mir jemand helfen wie ich dabei vorgehen muß?
Versuche es einfach einmal mit einer Fallunterscheidung. Weil [mm]x^{3} - 9x[/mm] eine ungerade Funktion ist, also nur ungerade Exponenten hat, ist sie in diesem Fall >0 für jedes x >0 und der Ausdruck ist <0 für jedes x<0.
Also kannst du auch schreiben:
[mm] f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{3} - 9x & , x > 0\\
-x^{3} + 9x& , x < 0\\
\end{matrix} \right.[/mm]
Dann machst du eine Kurvendiskussion getrennt nach den Fällen:
x > 0 und x < 0.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 02.11.2004 | | Autor: | MichiB. |
Hallo nochmal
Danke für eure Hilfe
habe die Aufgabe auch gemacht aber irgendwie immer noch nicht ríchtig verstanden.
Ist es denn richtig dass ich 2 Kurvendiskussionen machen muß.
1.) f(x) = x³ -9x
2.) f(x) = -x³ + 9 x
Habe es so gemacht. War aber irgendwie nicht richtig.
Eigentlich dürfte doch auch unter der x Achse der Graf nicht vorhanden sein
Also nur über der x Achse
stimmt das?
Wenn wie muß ich denn dann vorgehen.
Danke und viele Grüße
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 02.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michi
Nein, du musst nur eine Kurvendiskussion machen. Aber: Die Funktion ist eitwas komplizierter:
Für $x [mm] \ge [/mm] 3$ und $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$ heisst die Funktion: [mm] $f(x)=x^{3}-9x$
[/mm]
Für $x [mm] \le [/mm] 3$ und $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ heisst die [mm] Funktion:$f(x)=-x^{3}+9x$
[/mm]
Damit hast du, je nachdem, in welchem Intervall du bist, diese oder jene Funktion zu betrachten. Bei den Intervallgrenzen musst du ebenfalls spezielle Überlegungen anstellen. Dort ist die Funktion zum Beispiel nicht differenzierbar, aber doch stetig. (Dort sind Ecken im Grafen)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 02.11.2004 | | Autor: | MichiB. |
Dankeschön Paul
Habe ich dann jetzt so gemacht.
Bei der Kurvendiskussion bleiben ja die Nullstellen und Wendepunkte gleich. ( Bei der einen und der anderen Funktion)
Hätte das auch soweit alles raus.
Aber wie läßt sich das bei den relativen Extremstellen begründen.
Muß diese doch mit beiden Funktionen ausrechnen.oder?
Fällt der Tiefpunkt denn einfach weg. Oder liegt er bei 0?
Werden mit dieser Aufgabe leider morgen abgefragt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 02.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michi
es hat 3 Tiefstellen: bei x = -3, x = 0 und x = 3.
Hier ist die erste Ableitung nicht mehr 0, denn die ist ja gar nicht definiert. Aber die allgemeiner formulierte Bedingung, dass eine Tiefstel le vorliegt, ist eben erfüllt. Nämlich: bei [mm] $x_{0}$ [/mm] liegt eine Tiefstelle vor, wenn für alle $x_$ in einer [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_{0}$ [/mm] gilt: $f(x) [mm] \ge f(x_{0})$.
[/mm]
Das ist ja bei allen drei genannten Punkten der Fall.
Ach ja, übrigens: das mit der Wendetangente würde ich mir nochmals genau überlegen. Hat der Graf bei x = 0 überhaupt eine eindeutig definierte Tangente?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 So 31.10.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Michi, hallo Micha
ich möchte hier nur schnell meine Lösung noch anhängen welche ich schon vor dir (lieber Micha) geschrieben hab. Ich konnte sie aber leider nicht posten weil irgendein Problem mit dem Server war. Na was solls .... damit ich sie nicht unnötig geschrieben hab, hier ist sie:
Hallo Michi,
> ich habe folgende Kurvendiskussion anzufertigen.
>
> Und zwar: f(x) = | [mm]x^{3}[/mm] - 9x |
>
> Mich irretieren die Betragstriche dabei.
>
> Kann mir jemand helfen wie ich dabei vorgehen muß?
Also die Betragsstriche brauchen dich nicht weiter stören, sie sind einfach nur eine abkürzende Schreibweise für eine Fallunterscheidung.
Es gilt nämlich:
|a| = a wenn a größer als Null ist.
|a| = 0 wenn a gleich Null ist.
|a| = -(a) wenn a kleiner als Null ist.
Dann kannst du deine Funktion ganz einfach untersuchen in dem du die Betragsstriche durch eine Fallunterscheidung eliminierst.
1. Fall: [mm] x^3-9x>0 [/mm]
In diesem Fall kannst du die Betragsstriche einfach weglassen, du musst also nur die Funktion [mm] f(x)=x^3-9x [/mm] untersuchen.
2. Fall: [mm] x^3-9x=0 [/mm]
In diesem Fall ist f(x)=0
3. Fall: [mm] x^3-9x<0 [/mm]
In diesem Fall musst du die Betragsstriche durch Klammern ersetzen und ein Minuszeichen davor machen. [mm] f(x)=-(x^3-9x) [/mm]
Jetzt versuche mal diese drei Fälle zu untersuchen, wenn Fragen auftauchen melde dich einfach nochmal, ich werde dann versuchen es noch einmal ausführlicher oder anders zu erklären.
Noch ein Tipp zum Graphen, den kannst du ganz einfach zeichnen in dem du den Graphen von [mm] $f(x)=x^3-9x$ [/mm] zeichnest, und den Teil des Graphen der unter der x-Achse verläuft an dieser spiegelst.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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