Kurvendiskussion Ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Hallo! Ich bin dabei, eine Kurvendiskussion der Funktion f(x)=x^2lnx durchzuführen. Dabei habe ich erstmal mit Folgendem begonnen:
1. Def.bereich:
D=R>0
2. Schnittpkt. mit x-A.:
0=x^lnx
0=x(xln)
0=xln | e
x=1 -> N(1/0)
3. Ableitungen:
[mm] f'(x)=2x*lnx+x^2*\bruch{1}{x} [/mm]
=2x*lnx+x
[mm] f''(x)=2*lnx+2x*\bruch{1}{x}+1
[/mm]
[mm] =2*lnx+\bruch{2x}{x}+1
[/mm]
Stimmt das soweit?
LG
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> Hallo! Ich bin dabei, eine Kurvendiskussion der Funktion
> [mm] f(x)=x^2\lnx [/mm] durchzuführen. Dabei habe ich erstmal mit
> Folgendem begonnen:
>
> 1. Def.bereich:
> D=R>0
>
> 2. Schnittpkt. mit x-A.:
> [mm] 0=x^2\lnx
[/mm]
> 0=x(xln)
> 0=xln | e
> x=1 -> N(1/0)
Das Endergebnis stimmt, aber deine Umformungen sind fast unleserlich, da fehlen mehrere x.
>
> 3. Ableitungen:
> [mm]f'(x)=2x*lnx+x^2*\bruch{1}{x}[/mm]
> =2x*lnx+x
>
> [mm]f''(x)=2*lnx+2x*\bruch{1}{x}+1[/mm]
> [mm]=2*lnx+\bruch{2x}{x}+1=\blue{2\ln x+3}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja
>
> LG
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Gut, danke.
Ich habe jetzt die dritte Ableitung berechnet, bin mir aber nicht sicher, ob ich dort die Produktregel anwenden soll, oder nicht:
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{x} [/mm] -> Das wäre ohne Produktregel
[mm] f'''(x)=lnx+\bruch{2}{x} [/mm] -> Ohne Produktregel.
Was ist denn nun richtig?
LG
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> Gut, danke.
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> Ich habe jetzt die dritte Ableitung berechnet, bin mir aber
> nicht sicher, ob ich dort die Produktregel anwenden soll,
> oder nicht:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{2}{x}[/mm] -> Das wäre ohne Produktregel
>
> [mm]f'''(x)=lnx+\bruch{2}{x}[/mm] -> Ohne Produktregel.
Das ist Unsinn. 2 abgeleitet ist 0, selbst bei der Anwendung der produktregel sollte obiges Ergebnis rauskommen.
>
> Was ist denn nun richtig?
>
> LG
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Achso, stimmt ja. Danke!
Nun bin ich zum Extrempunkt gekommen:
Erste Ableitung nullsetzen:
0=2x*lnx+x
0=x(2ln+1)
0=2ln+1 | -1
-1=2ln | :2
-0,5=ln | e()
x=0,61
x in f''(x) einsetzen:
f''(e^-0,5)=2*ln(e^-0,5)+3=2>0 -> Minimum T(e^-0,5/-0,30)
Ist mein Ergebnis richtig?
LG
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Hallo,
> Achso, stimmt ja. Danke!
>
> Nun bin ich zum Extrempunkt gekommen:
>
> Erste Ableitung nullsetzen:
>
ja!
> 0=2x*lnx+x
> 0=x(2ln+1)
>
ok!
> 0=2ln+1 | -1
> -1=2ln | :2
> -0,5=ln | e()
> x=0,61
>
besser [mm] e^{-0,5}
[/mm]
> x in f''(x) einsetzen:
>
> f''(e^-0,5)=2*ln(e^-0,5)+3=2>0 -> Minimum
> T(e^-0,5/-0,30)
>
nein!
[mm] e^{-0,5} [/mm] in f(x) eingesetzt sollte [mm] \bruch{1}{2e} [/mm] für den y-Wert des TP ergeben!
> Ist mein Ergebnis richtig?
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe nun nachgerechnet bin auf den gleichen y-Wert gekommen, bloß mit einem Minus davor.
Wendepunkte:
0=2lnx+3 |-3
-3=2lnx |:2
-1,5=lnx | e()
x=0,22 bzw. e^-1,5
[mm] f'''(e^-1,5)=\bruch{2}{e^-1,5} [/mm] = 8,96 -> Wendestelle existiert -> W(e^-1,5/-0,07)
Anschließend habe ich die Fläche berechnet, die vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden der Gleichungen x=0,5 und x=1,5 begrenzt wird:
Dabei habe ich die zwei x Werte in die Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{1}{3}x^3lnx-\bruch{1}{9}x^3 [/mm] eingesetzt.
Somit bekomme ich rund 0,737 Flächeneinheiten raus.
Anschließend habe ich noch eine Tangente t an den Graphen der Funktion f an der Stelle x=e aufgestellt.
Durch das nullsetzen der ersten Ableitung der Ausgangsfunktion habe ich den Anstieg ermittelt, welcher rund 8,15 ist.
Als Tangentenfunktion habe ich somit:
t:y=8,15x-14,78
Stimmt das soweit?
LG
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Hallo,
> Ich habe nun nachgerechnet bin auf den gleichen y-Wert
> gekommen, bloß mit einem Minus davor.
>
natürlich. Mein Fehler!
> Wendepunkte:
>
> 0=2lnx+3 |-3
> -3=2lnx |:2
> -1,5=lnx | e()
> x=0,22 bzw. e^-1,5
>
> [mm]f'''(e^-1,5)=\bruch{2}{e^-1,5}[/mm] = 8,96 -> Wendestelle
> existiert -> W(e^-1,5/-0,07)
>
>
ja! der x- Wert sieht doch schön aus! Mach den y-Wert nicht so hässlich. Schreibe lieber [mm] -\bruch{3}{2*e^{3}} [/mm] 
> Anschließend habe ich die Fläche berechnet, die vom
> Graphen von f, der x-Achse und den Geraden der Gleichungen
> x=0,5 und x=1,5 begrenzt wird:
>
> Dabei habe ich die zwei x Werte in die Stammfunktion
> [mm]F(x)=\bruch{1}{3}x^3lnx-\bruch{1}{9}x^3[/mm] eingesetzt.
>
F(x) stimmt.
> Somit bekomme ich rund 0,737 Flächeneinheiten raus.
Da bekomme ich was anderes heraus! Zeige mal deine rechnung.
Stimmt
> das?
>
> LG
>
>Anschließend habe ich noch eine Tangente t an den Graphen >der Funktion f an der Stelle x=e aufgestellt.
>Durch das nullsetzen der ersten Ableitung der >Ausgangsfunktion habe ich den Anstieg ermittelt, welcher >rund 8,15 ist.
>Als Tangentenfunktion habe ich somit:
>
>t:y=8,15x-14,78
>
>Stimmt das soweit?
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Also hier ist meine Berechnung von der Fläche:
[mm] \integral_{0,5}^{1,5}(x^2lnx),dx=[\bruch{1}{3}x^3lnx-\bruch{1}{9}x^3^]
[/mm]
=(0,03)-(-0,707)=0,737 FE.
Bei der eckigen Klammer sollen natürlich noch oben und unten die zwei Grenzwerte hin.
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Hallo,
> Also hier ist meine Berechnung von der Fläche:
>
> [mm]\integral_{0,5}^{1,5}(x^2lnx),dx=[\bruch{1}{3}x^3lnx-\bruch{1}{9}x^3^][/mm]
> =(0,03)-(-0,707)=0,737 FE.
>
setze mal richig ein und schritt für schritt
Zudem schau dir den Graphen an. Du hast doch eine Nullstelle extra berechnet! Wie genau musst du das also einteilen?
> Bei der eckigen Klammer sollen natürlich noch oben und
> unten die zwei Grenzwerte hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe jetzt so gerechnet, dass es 2 eckige Klammern gibt. Die erste ist für den Grenzbereich von 0,5 bis 1 (Nullstelle) und die zweite für 1 bis 1,5. Eingesetzt und dann addiert bekomme ich raus:
rund 0,747 FE. Stimmt es jetzt? Ist ja kein großer Unterschied zum ersten Ergebnis.
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Hallo,
> Ich habe jetzt so gerechnet, dass es 2 eckige Klammern
> gibt. Die erste ist für den Grenzbereich von 0,5 bis 1
> (Nullstelle) und die zweite für 1 bis 1,5. Eingesetzt und
> dann addiert bekomme ich raus:
>
Ja das ist der richtige Weg!
Bedenke dass du von 0,5 bis 1 den betrag nehmen musst!. Die Fläche ist nämlich unter der xachse. herauskommen sollte |-0,07|+0,19=0,26 FE.
> rund 0,747 FE. Stimmt es jetzt? Ist ja kein großer
> Unterschied zum ersten Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Danke, ich hab nun nachgerechnet und das gleiche rausbekommen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
> 0=2x*lnx+x
> 0=x(2ln+1)
>
> 0=2ln+1 | -1
> -1=2ln | :2
> -0,5=ln | e()
Wo ist denn hier nach dem Ausklammern das Argument der ln-Funktion verblieben? Das wurde doch hoffentlich nicht mit "ausgeklammert"? (Allein bei dem Gedanken schaudert mir ...)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Was meinst du denn damit genau?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Dass es nach dem Ausklammern und bei allen anderen Schritten danach [mm]\ln \red{(x)}[/mm] lauten muss!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Achso, also darf man das x von ln nie ausklammern, richtig?
LG
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Hallo,
> Achso, also darf man das x von ln nie ausklammern,
> richtig?
>
Oh gott! Nein!. Ich bin davon ausgegangen dass es ein flüchtigkeitsfehler ist oder schreibfaul .
denn -0,5=ln macht gar keinen sinn. es muss -0,5=ln(x) heissen.
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Okay, gut danke!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Als letzte Aufgabe sollte ich nun den minimalen Abstand berechnen. Gegeben sei die Funktion g mit [mm] g(x)=x^2-4, [/mm] x>0.
Die Frage war, an welcher Stelle x der Abstand f(x)-g(x) minimal ist.
Meine Lösung:
d(x)=f(x)-g(x)
[mm] d(x)=x^2lnx-x^2-4
[/mm]
d'(x)=2xlnx-x
d'(x) nullsetzen
0=2xlnx-x
0=x(2ln-1)
0=2ln-1 |+1
1=2ln |:2
0,5=ln | e()
x=1,65 bzw. [mm] e^0,5
[/mm]
x in d einsetzen:
[mm] d(e^0,5)=(e^0,5)^2ln(e^0,5)-(e^0,5)^2-4
[/mm]
[mm] (e^0,5)^2 [/mm] kürzt sich weg und ich habe dann somit erhalten:
[mm] d(x)=lne^0,5+4
[/mm]
Ist das Ergebnis richtig?
LG
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Hallo,
> Als letzte Aufgabe sollte ich nun den minimalen Abstand
> berechnen. Gegeben sei die Funktion g mit [mm]g(x)=x^2-4,[/mm] x>0.
> Die Frage war, an welcher Stelle x der Abstand f(x)-g(x)
> minimal ist.
>
> Meine Lösung:
>
> d(x)=f(x)-g(x)
> [mm]d(x)=x^2lnx-x^2-4[/mm]
> d'(x)=2xlnx-x
>
nein! [mm] \red{+}4
[/mm]
> d'(x) nullsetzen
>
> 0=2xlnx-x
> 0=x(2ln-1)
> 0=2ln-1 |+1
> 1=2ln |:2
> 0,5=ln | e()
> x=1,65 bzw. [mm]e^0,5[/mm]
>
ok!
> x in d einsetzen:
>
> [mm]d(e^0,5)=(e^0,5)^2ln(e^0,5)-(e^0,5)^2-4[/mm]
>
> [mm](e^0,5)^2[/mm] kürzt sich weg und ich habe dann somit
> erhalten:
>
> [mm]d(x)=lne^0,5+4[/mm]
>
> Ist das Ergebnis richtig?
>
berechne also nochmal neu!
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Okay, mit +4 müsste es dann so aussehen:
[mm] d(x)=lne^0,5-4 [/mm]
Richtig? Aber wieso eigentlich +4? In der gebenen Fkt. steht doch -4.
LG
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Hallo dudu93,
> Okay, mit +4 müsste es dann so aussehen:
>
> [mm]d(x)=lne^0,5-4[/mm]
Das ist nicht richtig.
>
> Richtig? Aber wieso eigentlich +4? In der gebenen Fkt.
> steht doch -4.
>
Weil Du diese Funktion von einer anderen Funktion subtrahierst.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Wo liegt denn da der Fehler? Ich habe es jetzt mehrmals berechnet,bekomme aber immer das gleich raus.
LG
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Hallo dudu93,
> Wo liegt denn da der Fehler? Ich habe es jetzt mehrmals
> berechnet,bekomme aber immer das gleich raus.
Dann poste doch die einzelnen Rechenschritte,
wie Du zu Deinem Ergebnis kommst.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
d(x)=f(x)-g(x)
$ [mm] d(x)=x^2lnx-x^2+4 [/mm] $
d'(x)=2xlnx-x
d'(x) nullsetzen
0=2xlnx-x
0=x(2ln-1)
0=2ln-1 |+1
1=2ln |:2
0,5=ln | e()
x=1,65 bzw. $ [mm] e^0,5 [/mm] $
x in d einsetzen:
$ [mm] d(e^0,5)=(e^0,5)^2ln(e^0,5)-(e^0,5)^2+4 [/mm] $
$ [mm] (e^0,5)^2 [/mm] $ kürzt sich weg und ich habe dann somit erhalten:
$ [mm] d(x)=lne^0,5-4 [/mm] $
Ich komme immer nur auf [mm] lne^0,5-4
[/mm]
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Hallo dudu93,
> d(x)=f(x)-g(x)
> [mm]d(x)=x^2lnx-x^2+4[/mm]
> d'(x)=2xlnx-x
>
> d'(x) nullsetzen
>
> 0=2xlnx-x
> 0=x(2ln-1)
> 0=2ln-1 |+1
> 1=2ln |:2
> 0,5=ln | e()
> x=1,65 bzw. [mm]e^0,5[/mm]
>
> x in d einsetzen:
>
> [mm]d(e^0,5)=(e^0,5)^2ln(e^0,5)-(e^0,5)^2+4[/mm]
>
> [mm](e^0,5)^2[/mm] kürzt sich weg und ich habe dann somit
> erhalten:
Hier liegt der Fehler:
[mm](e^{0,5})^2[/mm] kürzt sich nicht weg, da [mm]\ln\left(e^{0,5}\right) \not= 1[/mm] ist.
>
> [mm]d(x)=lne^0,5-4[/mm]
>
> Ich komme immer nur auf [mm]lne^0,5-4[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Wie lautet das Ergebnis denn dann nun richtig? ich blicke bei dieser Aufgabe nicht mehr durch.
Könntest Du bitte die Lösung schreiben, damit ich versuchen kann, es nachzuvollziehen?
Danke, LG.
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Hallo dudu93,
> Wie lautet das Ergebnis denn dann nun richtig? ich blicke
> bei dieser Aufgabe nicht mehr durch.
Das richtige Ergebnis lautet: [mm]4-\bruch{1}{2}*e^{1}[/mm]
> Könntest Du bitte die Lösung schreiben, damit ich
> versuchen kann, es nachzuvollziehen?
Dahinter steckt auch die Anwendung der Logarithmusgesetze
>
> Danke, LG.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
Hast Du die notwendigen Klammern gesetzt?
[mm]d(x) \ = \ f(x)-g(x) \ = \ x^2*\ln(x)- \ \red{(}x^2-4\red{)} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 27.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Ja, habe ich. Aber am Ergebnis ändert sich bei mir trotzdem nichts...
LG
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