Kurvendiskussion e-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion f(x)= [mm] x*e^{-tx²} [/mm] auf Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an der Grenzen, Extrema und Wendepunkte. |
Hallo,
also ich habe obige Funktion angefangen zu untersuchen und schon folgende Ergebnisse raus:
DEFINITIONSBEREICH
[mm] D=\IR [/mm] ???
SYMMETRIE
f(-x)= [mm] -x*e^{-t(-x)²} [/mm] = [mm] -x*e^{-tx²}= [/mm] -f(x) also achsensymmetrisch
VERHALTEN AN DEN GRENZEN:
(wenn ich davon ausgehe, dass D stimmt muss ich ja das verhalten gegen [mm] +\infty [/mm] und gegen [mm] -\infty)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x) = 0
IST DAS RICHTIG???
NULLSTELLEN
die Funktion kann ja nur Null sein wenn x null ist weil [mm] e^{-tx²}>0
[/mm]
also hat f(x) eine Nullstelle N(0/0)
EXTREMA:
f'(x)= [mm] e^{-tx²} [/mm] - [mm] 2tx*e^{-tx²} [/mm] mit KR und PR
f'(x)=0 [mm] \gdw e^{-tx²} [/mm] - [mm] 2tx*e^{-tx²}=0 \gdw e^{-tx²}=2tx*e^{-tx²} \gdw [/mm] ... [mm] \gdw x_1= \wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm] v [mm] x_2= -\wurzel{\bruch{1}{2t}}
[/mm]
HIER habe ich Probleme mit der zweiten Abl.
ich weiß nicht wie ich das zusammenfassen soll
f''(x)= [mm] e^{-tx²} -2tx*e^{-tx²}+(-4tx² e^{-tx²} [/mm] + [mm] 4t²x^{4} e^{-tx²})
[/mm]
meiner Meinung nach wären das
f''(x)= [mm] e^{-tx²}*(-2tx²-4tx+4t²x^{4})
[/mm]
wenn ich jetzt damit weitermache ist
[mm] f''(x_1) [/mm] < 0 (also HP)
[mm] f''(x_2) [/mm] > 0 (also TP)
in die Funktion eingesetzt erhalte ich
[mm] HP(\wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm] / [mm] \wurzel{\bruch{1}{2t}} e^{-t \wurzel{\bruch{1}{2t}}})
[/mm]
TP (- [mm] \wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm] / [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2t}} e^{-t \wurzel{\bruch{1}{2t}}})
[/mm]
WENDEPUNKTE
da ich nciht weiß ob die zweite Ableitung richtig ist, würde ich jetzt hier erstmal aufhören und hoffe ihr könnt mir helfen!
Danke Limönchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
Hallo Loddar,
danke erstmal für die schnelle Antwort.
> > EXTREMA:
> > f'(x)= [mm]e^{-tx²}[/mm] - [mm]2tx*e^{-tx²}[/mm] mit KR und PR
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du scheinst nachher mit etwas Richtigem weiter zu
> rechnen ... aber es muss beim 2. Term
> [mm]...-2t*x^{\red{2}}*...[/mm] heißen.
stimmt da habe ich hier im Text vergessen das Quadrat mit einzufügen, auf meinem Blatt ist es aber vorhanden, daher habe ich damit dann weitergerechnet
>
> Hier könnte man gleich noch [mm]e^{-t*x^2}[/mm] ausklammern.
>
müsste ja dann sein:
[mm] f'(x)=e^{-tx²}*(1-2tx²)
[/mm]
damit abgeleitet habe ich dann raus für zweite Abl. (mit KR und PR)
[mm] [e^{-tx²}*(1-2tx²)]'= e^{-tx²}*(1-2tx²)*(1-2tx²)+e^{-tx²}*(-4tx)
[/mm]
= [mm] e^{-tx²}*(1-2tx²)²-4tx*e^{-tx²}
[/mm]
= [mm] e^{-tx²}*((1-2tx²)²-4tx)
[/mm]
ist das jetzt so richtig ?
kann ich das für die zweite ableitung irgendwie vereinfachen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Limone!
> [mm][e^{-tx²}*(1-2tx²)]'= e^{-tx²}*(1-2tx²)*(1-2tx²)+e^{-tx²}*(-4tx)[/mm]
Wo kommt denn hier die 2. Klammer [mm] $\left(1-2t*x^2\right)$ [/mm] her? Da gehört die Ableitung dieser Klammer hin!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 10.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
> Hallo Limone!
>
>
> > [mm][e^{-tx²}*(1-2tx²)]'= e^{-tx²}*(1-2tx²)*(1-2tx²)+e^{-tx²}*(-4tx)[/mm]
>
> Wo kommt denn hier die 2. Klammer [mm]\left(1-2t*x^2\right)[/mm]
> her? Da gehört die Ableitung dieser Klammer hin!
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ich habe das mit der Produktregel abgeleitet und dann is die klammer mein v(x) und der rest mein u(x) und dann hab ich
u'v+uv' gemacht
muss ich das nicht so ableiten?
dann wüsste ich aber auch nicht wie?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein u' ist falsch.
[mm] (e^{-2tx^2})' [/mm] ergeben nicht [mm] e^{-tx²}\cdot{}(1-2tx²)
[/mm]
Zusatz: es muss am Symmetriepunkt =0 ein Wendepkt sein. das weiss man vorher.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 10.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
ok, ja stimmt ups ich blind fisch mein [mm] u'(x)=-2tx*e^{-tx²}
[/mm]
dann ist
f''(x)= [mm] -2tx*e^{-tx²}*(1-2tx²)+e^{-tx²}*(-4tx)
[/mm]
[mm] =-2tx*e^{-tx²}*(3-2tx²)
[/mm]
Dann ist
[mm] f''(x_1)<0 \Rightarrow [/mm] HP
[mm] f''(x_2)>0 \Rightarrow [/mm] TP
HP und TP hab ich ja schon berechnet.
OK dann weiter mit Wendepunkte:
f''(x)=0 [mm] \gdw -2tx*e^{-tx²}*(3-2tx²)=0 \gdw -2tx*e^{-tx²}=0 [/mm] v (3-2tx²)=0
(3-2tx²)=0 [mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw x_1= \wurzel{\bruch{3}{2t}} [/mm] v [mm] x_2= -\wurzel{\bruch{3}{2t}}
[/mm]
[mm] -2tx*e^{-tx²}=0 \gdw e^{-tx²}=0 [/mm]
aber ist das nicht größer null? wenn ich hier weiter rechnen würde hätte ich ja auch x=ln(-tx²) raus und das ist doch ncht zulässig oder?
[mm] f'''(x)=4t²x²*e^{-tx²}*(3-2tx²)+ (-2tx*e^{-tx²})*(-4tx)
[/mm]
[mm] =4t²x²*e^{-tx²}*(5-2tx²)
[/mm]
ich hoffe diesmal richtig 
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] eingesetzt in f''' ist ungleich null also Wendepunkte
beide Werte in die Funktion eingesetzt ergeben die Wendepunkte
[mm] (\wurzel{\bruch{3}{2t}} [/mm] / [mm] \wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{1,5}) [/mm] und
[mm] (-\wurzel{\bruch{3}{2t}} [/mm] / [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{1,5})
[/mm]
WERTEBEREICH
[mm] W=[-\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ; [mm] \wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}]
[/mm]
also alle Werte zwischen den y-Werten der Extrema, einschließlich dieser, oder?
Jetzt Hab ich aber keinen Wendepunkt am Symmetriepunkt gefunden???
|
|
|
| |
|
Hallo Limone81,
> ok, ja stimmt ups ich blind fisch mein [mm]u'(x)=-2tx*e^{-tx²}[/mm]
> dann ist
> f''(x)= [mm]-2tx*e^{-tx²}*(1-2tx²)+e^{-tx²}*(-4tx)[/mm]
>
> [mm]=-2tx*e^{-tx²}*(3-2tx²)[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]f''(x_1)<0 \Rightarrow[/mm] HP
> [mm]f''(x_2)>0 \Rightarrow[/mm] TP
>
> HP und TP hab ich ja schon berechnet.
>
> OK dann weiter mit Wendepunkte:
> f''(x)=0 [mm]\gdw -2tx*e^{-tx²}*(3-2tx²)=0 \gdw -2tx*e^{-tx²}=0[/mm]
> v (3-2tx²)=0
> (3-2tx²)=0 [mm]\gdw[/mm] ... [mm]\gdw x_1= \wurzel{\bruch{3}{2t}}[/mm] v [mm]x_2= -\wurzel{\bruch{3}{2t}}[/mm]
[mm]x_{3}=0[/mm] ist auch ein möglicher Kandidat für einen Wendepunkt.
>
> [mm]-2tx*e^{-tx²}=0 \gdw e^{-tx²}=0[/mm]
> aber ist das nicht größer null? wenn ich hier weiter
> rechnen würde hätte ich ja auch x=ln(-tx²) raus und das ist
> doch ncht zulässig oder?
>
> [mm]f'''(x)=4t²x²*e^{-tx²}*(3-2tx²)+ (-2tx*e^{-tx²})*(-4tx)[/mm]
>
> [mm]=4t²x²*e^{-tx²}*(5-2tx²)[/mm]
> ich hoffe diesmal richtig
Leider ist das nicht ganz richtig:
[mm]f'''(x)=\red{\left(-2tx\right)'*e^{-tx²}*(3-2tx²)}+4t²x²*e^{-tx²}*(3-2tx²)+ (-2tx*e^{-tx²})*(-4tx)[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] eingesetzt in f''' ist ungleich null also
> Wendepunkte
>
> beide Werte in die Funktion eingesetzt ergeben die
> Wendepunkte
> [mm](\wurzel{\bruch{3}{2t}}[/mm] / [mm]\wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{1,5})[/mm]
> und
> [mm](-\wurzel{\bruch{3}{2t}}[/mm] /
> [mm]-\wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{1,5})[/mm]
>
> WERTEBEREICH
> [mm]W=[-\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ;
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}][/mm]
> also alle Werte zwischen den y-Werten der Extrema,
> einschließlich dieser, oder?
> Jetzt Hab ich aber keinen Wendepunkt am Symmetriepunkt
> gefunden???
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 10.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
> Leider ist das nicht ganz richtig:
>
> [mm]f'''(x)=\red{\left(-2tx\right)'*e^{-tx²}*(3-2tx²)}+4t²x²*e^{-tx²}*(3-2tx²)+ (-2tx*e^{-tx²})*(-4tx)[/mm]
>
jetzt weiß ich ehrlich gar nicht mehr warum und wie ich das ableiten soll, jetzt bin ich ganz verwirrt, kann mir da mal jemand bitte sagen wie das zu dem ergebnis kommt?
> >
> > [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] eingesetzt in f''' ist ungleich null also
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] -2tx\cdot{}e^{-tx²}=0 \gdw e^{-tx²}=0 [/mm] $
der pfeil ist falsch, richtig ist: einer der faktoren muss Null sein. also x=0 da [mm] e^{-tx²}>0.
[/mm]
wozu brauchst du f''' du bist doch fertig.
Wendepunkt bei 0, sons waer es nicht sym zu 0, 2 weitere Wendepunkte, rechts und links von max und Min.
was willst du noch mit f'''? wirum das gekruemmt ist weisst du doch wegen max und Min und weil sich die Kruemmung im Wendepunkt aendert.
zu deiner dritten Abl. deinef'' besteht aus 3 faktoren, du rechnest, als ob es nur 2 waeren .
(uvw)'=(u'v+uv')*w+)uv)*w'
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
Ich brauch f''' weil das kriterium lautet für WP f''=0 und [mm] f'''\not=0
[/mm]
ichprobier das mal mit der dritten abl , kann als übung ja nicht schaden. Ist denn die zwetie Ableitung richtig? bzw wo liegt der fehler, ich weiß nicht was ich übersehe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'' ist nach der Korrektur richtig.
[mm] f'''\ne [/mm] 0 musst du nur ueberpruefen, wenn am selben Punkt auch f'=0 waere, dann muss man zwischen Extremwert und Sattelpkt entscheiden.
aber die Uebung schd ja nix.
es sollte dir nur klar sein, dass nach einem max im positiven, und danach geht die fkt gegen 0 ein Wendepunkt sein MUSS, . entsprechend nach Min und dann gegen 0 ebenso im Symmetriepunkt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
achso ja ok, das habe ich verstanden, dann hab ich das vorher nur falsch gelesen und falsch von dir verstanden.
danke auf jeden fall, die übung mit der dritten abl ist serh tückisch, hoffe ich finde morgen eine passable lösung und hoffe dass sie dann morgen mal jem überprüfen kann (nur so für mich )
gute nacht Limönchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 So 10.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
den Graphen hab ich mir dazu nicht angeguckt, den kann ich ja auch erst zeichnen wenn ich alles habe! ich habe einfach verschiedene zahlen eingesetzt und geguckt was passiert, keine ahnung was die regel von l'hospital ist. außerdem weiß ich das bei einem negativen exponenten der ausruck kleiner als eins ist.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
