Kurvenfunktion ermitteln < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Do 21.08.2008 | | Autor: | cappy |
| Aufgabe | Hallo,
es geht um folgendes. Mein Ziel ist es eine Funktion zu definieren, mit deren Hilfe ich 5 verschiedene Kurven zeichnen kann.
zunächst einmal unterscheiden sich zwei dieser Funktionen nur in einem Parameter d. die Werte für f1 wären:
y1= x1=
1223 550
1089 600
999 650
926 700 für diese Werte gild d=20,5. Dann kommt die nächste Funktion f2 mit den Werten:
y2= x2=
1230 550
1090 600
988 650
909 700 für diese Werte gilt d=24,1
zunächst bräuchte ich eine Formel, die diese beiden Funktionen beschreiben kann. Da diese recht linear verlaufen und sich hauptsächlich in der steigung m unterscheiden, denke ich müsste das d sich in der Steigung m wiederspiegeln.
Als zweites kommt eine 3te Funktion hinzu diese unterscheidet sich von f2 nicht in d, sondern von der Zusammensetzung Z. Hier gilt für f3:
y3= x3=
1264 500
1127 550
1031 600
963 650 mit d=24,1. Der unterschied zwischen f2 und f3 liegt in dieser Form vor:
Z=0,4490C +13,1300CR +0,1700NI +0,0400MO +0,4400SI +0,0174N +0,8700MN +0,0400CU +0,0040AL +0,0200S +0,0200P +0,0002B +0,00CA +0,0200CO +0,0950V +0,0073SN +0,0079TI +0,0160NB
wobei für f1 und f2 gilt:
Z=0,4540C +13,0200CR +0,1100NI +0,0250MO +0,4100SI +0,0184N +0,8900MN +0,0400CU +0,0120AL +0,0240S +0,0190P +0,0000B +0,00CA +0,0200CO +0,0820V +0,0061SN +0,0049TI +0,000ßNB
Zum schluss würden noch zwei weitere Funktionen f4 und f5 folgen, die sich von f1-f3 sowohl in d als auch Z unterscheiden. Die beiden Kurven haben Z gemeinsam. Die Werte für f4 wären:
y4= x4=
1165 550
1057 600
958 650
890 700 mit d=25 und für die Kurve f5 gelten folgende Werte:
y5= x5=
1215 550
983 650
904 700 mit d=50. Für beide gilt Z=f4=f5=0,4560C +13,0000CR +0,1200NI +0,0340MO +0,3900SI +0,0132N +0,3500MN +0,0500CU +0,0030AL +0,0020S +0,0200P +0,0000B +0,00CA +0,0200CO +0,0850V +0,0057SN +0,0044TI +0,0000NB
Jetzt ist eine Funktion gesucht, die alle 5 beschreiben kann, in abhängigkeit von d und Z.
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Meine Frage ist, wie kann ich das machen und ob mir da einer mit Rat zur Seite stehen kann. Dies ist nur ein Beispiel, ich müsste es auch für weitere Funktionen machen können. Da ich aber sowas noch nie gemacht habe, bräuchte ich ein Beispiel, was ich auf die anderen reproduzieren kann. Vielleicht aber gibt es auch ne Software, die einem dabei helfen kann. Würde es aber auch gerne zu Fuss machen können, da ich das für meine Ausarbeitung benötige.
Ich hoffe, dass sich hier jemand findet, der da etwas von versteht.
Danke vorab
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 21.08.2008 | | Autor: | Arralune |
Ich habe leichte Probleme deine Frage zu verstehen:
1. Vom Thema her bist du in "Funktionalanalysis" ganz sicher falsch, vermutlich ist deine Frage aus dem Gebiet der Statistik.
2. Die Begriffe, die du verwendest sind so nicht die richtigen Fachbegriffe, es ist daher schwer zu verstehen was du meinst (was sind das für Funktionen? (Eine Funktion ist i.A. nicht durch 4 Wertepaare definiert) Was ist eine Zusammensetzung und was meinst du Z=Linearkombination chemischer Formelzeichen? Was ist das für ein Parameter?)
3. Sind die Werte deiner Wertetabelle deterministisch oder stochastisch? Handelt es sich also um Werte die du ausgerechnet hast oder kommen sie aus einem Experiment?
Ich nehme an, du möchtest eine Regressionsanalyse durchführen, schau dich zu dem Thema mal um, vielleicht ist das ja das wonach du suchst, wenn du deine Frage genauer formulieren kannst, kann ich dir vielleicht helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Do 21.08.2008 | | Autor: | cappy |
Also eine Funktion ist bei mir z.B. eine Parabel [mm] F(x)=x^2 [/mm] und eine Parabel kann ja mittels einem Faktor gestaucht werden und wenn eine Constante dazu addiert wird, dann wird die Parabel ja verschoben.
Das ich ein paar Punkte habe kommt aus Messreiehen/Experementen!! Und durch diese habe ich jetzt mal ein Polynom 2ten Grades gelegt. So und das Beschreibt ja erst mal eine Messreihe daher auch f1. So jetzt habe ich wieder Messwerte für f2. Diese Parabel verläuft etwas verschoben und das, weil ich den Parameter d variert habe. Jetzt möchte ich aber in die Funktion [mm] F(x)=x^2 [/mm] noch d so integrieren, dass ich je nach veränderung von d die eine als auch die andere Funktion berechnen kann.
So, wenn das geregelt ist, dann würde F3 dazu kommen. Aber ich denke erst einmal bis hier hin, ist das vielleicht etwas klarer?? Eine Regression ist es nicht gerade, damit lässt sich das Problem nicht wirklich lösen. Konntest du mich jetzt besser verstehen??
Danke und Gruss
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Ok ich fasse erstmal zusammen, damit du sehen kannst, ob ich dich richtig verstanden habe:
Du hast einige Messreihen gemacht und möchtest nun daraus eine Funktion ableiten, die diese Ergebnisse möglichst gut interpoliert. Deine Messwerte hängen von einer Variablen x, einer Variablen d und einem Variablenvektor Z ab, gemessen wird ein einzelner Wert y.
Deine Werte kommen aus Messungen, sind also mit Fehlern behaftet, eine (einfache) Funktion, die alle Werte gleichzeitig exakt interpoliert wirst du also nicht finden können. An der Stelle sei auch gleich gesagt, dass 4 Messungen viel zu wenig ist, um irgendeine sinnvolle Aussage treffen zu können, wenn du die Möglichkeit hast, solltest du zusätzliche Messungen vornehmen.
Das was du möchtest ist immer noch eine normale Regression, allerdings mit mehr Dimensionen. Im Prinzip geht das genauso wie bei einer einfachen Regression auch, du gibst eine passende Funktion vor (z.B. [mm]f(x,d) = \alpha_1 x^2+\alpha_2 x+\alpha_3 d + \alpha_4[/mm])und wählst die Parameter [mm]\alpha_i[/mm] z.B. über die Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Die nötige Theorie dazu findest du in der Literatur oder in der Wikipedia. Das berechnen wirst du allerdings sehr schnell nicht mehr von Hand machen können, einfach weil es zuviel Aufwand wird, es gibt hier einige Programme die dir die Arbeit abnehmen können von Tabellenkalkulationsprogrammen wie Excel oder OpenOffice über Mathematikprogramme wie Maple oder Matlab bis hin zu speziellen Statistikprogrammen wie R, die dann aber auch wesentlich mehr Fachkenntnis zur Bedienung voraussetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 21.08.2008 | | Autor: | cappy |
Hallo,
du hast es schon richtig verstanden. Es gibt natürlich mehr als nur diese 4Messpunkte, aus denen konnte ich jeweils eine Funktion 2ten Grades aufsetzen, die auch den Graphen gut beschreiben. Diese Funktionen sind natürlich alle nur von x abhängig. Nur jetzt ist das Problem d und Z zu integrieren, so dass ich alles in eine Funktion packen kann.
Anhand der Auswertung, vermute ich stark es es möglich ist, da f1-f5 sehr ähnlich verlaufen und lediglich verschoben sind. Deswegen ist meine Hoffnung auch sehr hoch. Ich weiss aber leider nicht, wie ich alle zusammenpacken kann. Deswegen der Begriff Kurvenschar
Danke
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Bei Kurvenscharen denkst du prinzipiell an die richtigen Objekte, in der Schule kennt man normalerweise ja nur Funktionen von einer Variablen und mehreren Parametern.
Was du eigentlich brauchst sind aber Funktionen mit mehreren Variablen. Der Unterschied ist gar nicht so groß, im Wesentlichen betrachstet du nur Variable und Parameter als gleichwertig und notierst nicht mehr [mm]f_p(x)[/mm] sondern [mm]f(x,p)[/mm]. Anders betrachtet ist das Argument deiner Funktion nicht mehr eine einzelne Zahl, sondern ein Vektor.
Um nun graphisch herausfinden zu können, was für ein Modell für die Funktion geeignet ist, müssen wir aber eine Variable wieder loswerden, denn ansonsten bekommen wir ja keinen Graphen, den man auf Papier zeichnen könnte. Das können wir zum Beispiel erreichen in dem wir Parameter und Variable Plätze tauschen lassen, also anstelle von [mm]f_d(x)[/mm] wie bisher eine Funktion [mm]f_x(d)[/mm] betrachten. Praktisch bedeutet das, das du anstelle der Wertepaare mit unterschiedlichen x-Wert zu gleichen d-Werten nun Wertepaare zu gleichen x-Werten mit unterschiedlichen d Werten betrachtest, also die Paarung
d y
20.5 1223
24.1 1230
bei Parameter x = 550
d y
20.5 1089
24.1 1090
bei Parameter x = 600
betrachtest. Natürlich sind zwei Zahlenwerte hier viel zu wenig, um eine Abhängigkeit zu schätzen. Solange deine Abhängigkeiten unabhängig voneinander sind (Es also keinen Summanden [mm]d*x[/mm] in deiner Zielfunktion gibt) kannst du so die Funktion nach und nach zusammenbauen.
Zum Beispiel: Eine Betrachtung ergabt, das die Variable vermutlich quadratisch von x und linear von d abhängt, nun können wir die Funktion ansetzen mit [mm]f(x,d) = \alpha_1 x^2+\alpha_2 x + \alpha_3 d + \alpha_4[/mm] Was uns nun noch fehlt sind die Parameter [mm]\alpha_i[/mm]. Diese wählen wir so, dass der Fehler [mm]f(x,d)-y_{x,d}[/mm] möglichst klein wird. Damit der Fehler insgesamt berücksichtigt wird, nimmt man normalerweise die Summe aller Fehlerquadrate. Dieses Minimierungsproblem kannst du zum Beispiel mit normalen Ableiten und Nullsetzen lösen, die Numerik kennt aber für diesen speziellen Fall (linear) geschicktere Algorithmen, wenn du also sehr viele Messwerte hast, solltest du einen besseren Algorithmus verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Do 21.08.2008 | | Autor: | cappy |
Woher entnimmst du, dass die Variable d quatratisch von x abhängt? Irgenntwie sehe ich das nicht.
Wie muss ich denn jetzt genau vorgehen, wenn ich mehr als 2 Daten habe?? Leider habe ich alles in excel und die Datensätze lassen sich nicht gerade toll hier darstellen. Habe das ganze in eine Matrix. die könnte ich mal hier posten, wenn es was bringt. Die gelben Felder sind die y-Werte. RM(x), ist die x-wariable und d ist die weitere Variable. Wie kann ich hier abhängigkeiten ermitteln??
Also muss ehrlich gestehen, dass ich es nicht bis zum letzten Abschnitt geschaft habbe alles zu verstehen. Wie du zu den Aussagen gekommen bist, das x quatratisch und d linear abhängig ist!?!? und dann noch die Koeffizentenbestimmung habe ich gar nicht verstanden. Ist es vielleicht möglich ein Beispiel mit meinen Daten zu machen, dass ich das auch vollständig verstehen kann?? Wäre super lieb, denn es ist schon sehr wichtig, dass ich das selber verstanden habe und auch wiedergeben kann. Somit kann ich es auch für die weiteren Sachen anwenden. Wäre super lieb, wenn du dir da noch etwa Zeit für mich nehmen könntest. Werde mir grösste Mühe geben, alles zu verstehen.
So bis dann
liebe Grüsse von Cappy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:35 Fr 22.08.2008 | | Autor: | cappy |
Wenn man sich aber nun die Matrix anschaut, dann gibt es da zwei Spalten, in denen d und x gleich sind, aber dennoch zwei verschiedene y-Wert herauskommen. Verantwortlich hierfür ist der Term Z
(für d=24,1b -> Z=0,4490C +13,1300CR +0,1700NI +0,0400MO +0,4400SI +0,0174N +0,8700MN +0,0400CU +0,0040AL +0,0200S +0,0200P +0,0002B +0,00CA +0,0200CO +0,0950V +0,0073SN +0,0079TI +0,0160NB )
(für d=24,1a -> Z=0,4540C +13,0200CR +0,1100NI +0,0250MO +0,4100SI +0,0184N +0,8900MN +0,0400CU +0,0120AL +0,0240S +0,0190P +0,0000B +0,00CA +0,0200CO +0,0820V +0,0061SN +0,0049TI +0,000ßNB )
DIe Buchstaben hinter den Zahlen sind Koeefizienten, die erst einmal bestimmt werden müssen.!?!? Die frage ist, Wie kann ich diese bestimmen und vorallem.....hmmmm und jetzt wird es langsam zu viel für mich, komme da völlig durcheinander. Ist das bis hierher den klar erklärt??
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Die Abhängigkeit war nur ein Beispiel, aus 8 Werten kann man keine Abhängigkeiten schließen.
Die Excelmatrix ist schonmal nicht schlecht, makier dort alle Werte und lass ein Diagramm erstellen (keine Balken, sondern irgendeins mit Linien), einmal mit "Daten sind in den Spalten" und einmal mit "Daten sind in den Zeilen" Anhand des Diagramms kannst du dann versuchen eine Funktion herzuleiten.
Wenn du das Diagramm für Abhängigkeit in x anschaust, so sind die entstehenden Kurven einigermaßen linear, zumindest in dem von dir beobachteten Bereich.
Wenn du die Abhängigkeit in d betrachtest kriegst du nur 4 Punkte, die nicht aussagekräftig im Raum herumspringen. Hier müssen mehr Messwerte her, mit nur 4 Punkten kriegen wir keine Aussage, 12 sollten es mindestens sein.
Die Kurvenscharen sind jedoch immer nur gegeneinander verschoben, weshalb wir davon ausgehen können, das unsere Zielfunktion ungefähr so aussieht: [mm]f(x,d)=\alpha_1 x + g(d)[/mm] mit einer unbekannten Variablen [mm]\alpha_1[/mm] und einer unbekannten Funktion g(d). Da wir an g zurzeit eh nicht besser herankommen beschränke ich mich jetzt erstmal auf ein einziges d und betrachten die Funktion [mm]f(x)=\alpha_1 x + \alpha_2[/mm].
Nun ist klar, das es keine Werte für [mm]\alpha_i[/mm] gibt, sodass alle Messwerte exakt herauskommen, wir müssen also stattdessen möglichst gute Werte finden, sodass der Abstand der Funktion von den Messwerten möglichst gering wird. Excel kann dir das unter "Trendlinie einfügen (linear)" auch visualisieren.
So nun müssen wir uns noch klar machen was "möglichst gut" mathematisch heißen soll, dazu seien [mm]x_i[/mm] die x-Werte und [mm]y_i[/mm] die y-Werte. Der Fehler den wir in einem Datenpunkt machen ist [mm]f(x_i) - y_i[/mm]. Um den Fehler den wir insgesamt machen zu benennen quadrieren wir diesen Term und summieren über alle Fehler: [mm]\epsilon = \sum_{i=1}^n (f(x_i) - y_i)^2[/mm]
jetzt setzen wir die Funktion von oben ein: [mm]\epsilon(\alpha_1,\alpha_2) = \sum_{i=1}^n (\alpha_1 x_i +\alpha_2 - y_i)^2[/mm]. Der Fehler ist also eine Funktion, die von den Parametern [mm]\alpha_i[/mm] abhängt, [mm]x_i[/mm] und [mm]y_i[/mm] sind ja bekannt.
Um zu ein Minimum des Fehlers zu finden leiten wir die Fehlerfunktion einfach ab und setzen sie gleich null. Da wir zwei Variablen haben, haben wir auch zwei verschiedene Ableitungen (genannt partielle Ableitungen):
[mm]\frac{\partial}{\partial \alpha_1} f(\alpha_1,\alpha_2) = \sum_{i=1}^n 2 * (\alpha_1 x_i +\alpha_2 - y_i) * x_i[/mm] und [mm]\frac{\partial}{\partial \alpha_2} f(\alpha_1,\alpha_2) = \sum_{i=1}^n 2 * (\alpha_1 x_i +\alpha_2 - y_i) * 1[/mm].
Um ein Minimum zu erhalten müssen beide Funktionen gleich 0 sein, was zu folgender Gleichung führt:
[mm]\alpha_1 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}[/mm] sowie [mm]\alpha_2=\overline{y}-\alpha_1 \overline{x}[/mm] Wobei [mm]\overline{x}[/mm] und [mm]\overline{y}[/mm] die jeweiligen Mittelwerte sind.
Mit den letzten beiden Formeln kannst du auch direkt in Excel die passenden Werte für die lineare Abhängigkeit ausrechnen lassen.
Die gleiche Methode funktioniert theoretisch auch, wenn du mehr als nur eine Variable hast, oder wenn du eine andere Abhängigkeit als lineare Abhängigkeit vermutest, die Rechnung wird allerdings dann ziemlich umständlich, es tauchen Matrizen auf und das prüfen auf ein Minimum geht auch nicht mehr so einfach.
Hast du denn irgendeine Möglichkeit die passende Formel aus physikalischen/naturwissenschaftlichen Modellen herzuleiten? Das wäre sehr viel einfacher als sie aus den Daten zu raten.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:46 Fr 22.08.2008 | | Autor: | cappy |
Also ich bin jetzt platt. Mein Gott, man muss erst einmal so denken können. Ne also ein phsikalische modell habe ich nicht, bzw ist mir auch nicht bekannt. Bin schon seit 11uhr an deinem Beitrag dran und versuche das ganze nachzuvollziehen, aber noch bin ich nicht so weit. Desweiteren wollte ich mich noch um weitere Daten kümmern.
Aber eins habe ich nicht so ganz verstanden:
hinter dem ganzen steckt ja eine Verarbeitungsart. Würde die mathematische beschreibung nicht falsch sein, wenn die ergebnisse auf unterschiedliche behandlungsarten basieren?? Ich denke mal schon oder?? Denn um das auch auseinander zu halten, brauch ich wieder 2 weitere Parameter, die die Verarbeitungsart behandeln. Oder ist das egal??
Also logisch betrachtet habe ich damit noch ein Problem, denn wenn ich die gleichen Inputs habe und am ende bekomme ich zwei unterschiedliche Ergebnisse fehlt ja was, oder wie siehst du das?? Ich frage deswegen, weil wenn ich noch d aufstocken will, muss ich schon andere Daten nehmen, dann muss ich aber klassifizieren, oder!?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 22.08.2008 | | Autor: | cappy |
Also noch einmal, ich habe jetzt mal die Daten in der Excel zusammengetragen. Das sind zwei sheets, die einen sind aus dem Versuch, mit jeweils einen Parameter bzw Verktor Z konstant gehalten und die anderen sind willkürlich, aber dafür mehr von variable d.
Wo ich jetzt deinen Text nochmal gelesen habe, muss ich sagen, dass nicht ein einzelner Wert y gemessen wird, sondern 2 Werte TA1 und TA2, Dabei ist TA1 immer niedriger als TA2. In der angehängten Datei fangen die Variablen ab Element C an. Die ersten 2-3 Spalten gelten zur Identifikation der Datensätze und können ignoriert werden.
so, dann kann man sagen, das
output:
y1=TA1; Y2=TA2;
Input:
Rm=x, D=d, Z=(C;CR;.....;TI;NB),
AVG73, HTEMP, HMED, AN1 und AN2
So ich mach mich noch mal an den letzten Beitrag und mal schauen, wie weit ich komme.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Das ganze wird langsam ein bisschen zu viel um über ein Forum erklärt werden zu können, wozu brauchst du diese Auswertung denn? Wahrscheinlich ist es das einfachste, wenn du zur nächsten Uni in deiner Nähe gehst, in der Mathefakultät die Statistikabteilung suchst und dort versuchst einen Assistenten zu finden, der grade Zeit für dich hat. Wenn du vorher per Mail anfragst, findet sich da häufig jemand. Macht sich auch besser als Quellenangabe, falls du eine Facharbeit oder ähnliches vorhast.
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