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Kurvenintegral: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:24 So 23.03.2014
Autor: Phencyclidine

Aufgabe
Berechnen sie [mm] \integral_{k}^{}{(x-2)y ds} [/mm] wobei k der Halbkreisbogen mit dem Radius r= 2 ist im 1. und 2. Quadranten ist.


Wollte euch bitte um Korrektur der Aufgabe bitten. Da ich mir nicht sicher bin ob mein Ergebniss richtig ist.

x(t) = Phi (t) = r*cos ( t )  Phi' (t) = -sin (t)
y(t) = Psi (t) = r*sin ( t )   Psi' (t) = cos (t)

r = 2    k = [mm] \pi [/mm]

[mm] \integral_{k}^{}{(x-2)y ds} [/mm]  nun habe ich erstmal die Klammer in dem Integral Aufgelöst.

[mm] \integral_{k}^{}{xy-2y ds} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*\vmat{ Phi' \\ Psi'} dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2*cos(t)*2*sin(t)*(-4*sin(t)*\wurzel[]{2^2*(-sin(t))^2*2^2*cos(t))^2} dt} [/mm]

So nun ein wenig Zusammengefasst :

[mm] \integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[]{4*(sin^2(t)+cos^2(t)} dt} [/mm]

Da [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] cos^2(t) [/mm] = 1 ist folgt daraus

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[0]{4} dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-32*cos(t)*sin^2(t) dt} [/mm]

= [ -32* [mm] sin^3(t)/3 [/mm] ] mit eingesetzten Grenzen kommt bei mir 0 raus.

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 So 23.03.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen sie [mm]\integral_{k}^{}{(x-2)y ds}[/mm] wobei k der
> Halbkreisbogen mit dem Radius r= 2 ist im 1. und 2.
> Quadranten ist.   [haee]

Ich vermute mal, dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt
liegen soll ...

> Wollte euch bitte um Korrektur der Aufgabe bitten. Da ich
> mir nicht sicher bin ob mein Ergebniss richtig ist.
>  
> x(t) = Phi (t) = r*cos ( t )  Phi' (t) = -sin (t)    
> y(t) = Psi (t) = r*sin ( t )   Psi' (t) = cos (t)    [haee]

Wozu sollen die Bezeichnungen Phi und Psi dienen ?
In den Ableitungen sollte natürlich der Faktor r
auch wieder auftreten.


> r = 2    k = [mm]\pi[/mm]     [haee]

Ich habe gemeint, dass k die Bezeichnung für den
Halbkreis sein sollte ...
  

> [mm]\integral_{k}^{}{(x-2)y ds}[/mm]  nun habe ich erstmal die
> Klammer in dem Integral Aufgelöst.
>
> [mm]\integral_{k}^{}{xy-2y ds}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*\vmat{ Phi' \\ Psi'} dt}[/mm]
>  
> =
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{2*cos(t)*2*sin(t)*(-4*sin(t)*\wurzel[]{2^2*(-sin(t))^2*2^2*cos(t))^2} dt}[/mm]
>  
> So nun ein wenig Zusammengefasst :
>  
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[]{4*(sin^2(t)+cos^2(t)} dt}[/mm]

Oben hatten wir doch im Integranden noch eine
Subtraktion:   x*y - 2*y

Wo ist die verblieben ???

> Da [mm]sin^2(t)[/mm] + [mm]cos^2(t)[/mm] = 1 ist folgt daraus
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[0]{4} dt}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{-32*cos(t)*sin^2(t) dt}[/mm]

Man könnte auch ohne die Ableitungen Phi' und Psi' zu
betrachten, zeigen, dass  ds = 2*dt  sein muss.

> = [ -32* [mm]sin^3(t)/3[/mm] ] mit eingesetzten Grenzen kommt bei
> mir 0 raus.

Das ist jedenfalls ein falsches Ergebnis.

LG ,    Al-Chwarizmi


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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 So 23.03.2014
Autor: Phencyclidine

Guten Tag.

Wollte Fragen wie ich dann den Halbkreisbogen integrieren soll, wenn die Grenzen nicht richtig sind habe mir gedacht das [mm] \pi [/mm] und 0 richtig sind da ein ganzer Kreis [mm] 2\pi [/mm] ist. Und nen halber Kreis daher nur [mm] \pi [/mm] oder stimmt das nicht so?

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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Mo 24.03.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Guten Tag.
>  
> Wollte Fragen wie ich dann den Halbkreisbogen integrieren
> soll, wenn die Grenzen nicht richtig sind habe mir gedacht
> das [mm]\pi[/mm] und 0 richtig sind da ein ganzer Kreis [mm]2\pi[/mm] ist.
> Und nen halber Kreis daher nur [mm]\pi[/mm] oder stimmt das nicht
> so?

Ja, die Grenzen sind von 0 bis [mm] \pi. [/mm]
Jetzt parametrisiere doch erst einmal den Halbkreis korrekt:

   [mm] k(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}=\vektor{...\\...}, t\in[0,\pi] [/mm]

Jetzt bilde die Ableitung:

   [mm] k'(t)=\vektor{x'(t)\\y'(t)}=\vektor{...\\...} [/mm]

Bilde nun die Norm von k'(t):

   [mm] \Vert{k'(t)}\Vert=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=... [/mm]

So, und nun alles schön sauber (!) in die Formel für Kurveninetgrale einsetzen und berechnen.
Wenn du willst, dann zeig uns erst einmal obige Berechnungen. Das prüfen wir erst einmal und dann kannst du das Kurveninetgral korrekt ausrechnen.

Teilweise hast du ja schon etwas richtig gemacht. Wir wollen es nur noch einmal sauber aufschreiben.

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Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Mo 24.03.2014
Autor: Phencyclidine

K(t) = [mm] \vmat{ x(t) \\ y(t) } [/mm] = [mm] \vmat{ r*cos(t) \\ r*sin(t) } [/mm]

k'(t) = [mm] \vmat{ x'(t) \\ y'(t)} [/mm] = [mm] \vmat{ -r*sin(t) \\ r*cos(t) } [/mm]

||k'(t)|| = [mm] \wurzel[1]{x'(t)^2 + y'(t)^2} [/mm]
            
            =  [mm] \wurzel[1]{-r^2*sin^2(t) + r^2 * cos^2(t)} [/mm]

            =  [mm] \wurzel[1]{r^2*(sin^2(t) + cos^2(t)} [/mm]

            = [mm] \wurzel[1]{r^2} [/mm] = r


[mm] \integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*r dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*2sin(t)-4sin(t)*2 dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*(-2*sin(t))*2 dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-8cos(t)*sin(t) dt} [/mm]

= [ -8*-1/4*cos(2t)] nun die Grenzen Einetzen

= [ [mm] 2*cos(2\pi)] [/mm] - [ 2*cos(0)]  = 0

Bezug
                                        
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Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mo 24.03.2014
Autor: Richie1401

Hi,

> K(t) = [mm]\vmat{ x(t) \\ y(t) }[/mm] = [mm]\vmat{ r*cos(t) \\ r*sin(t) }[/mm]
>  
> k'(t) = [mm]\vmat{ x'(t) \\ y'(t)}[/mm] = [mm]\vmat{ -r*sin(t) \\ r*cos(t) }[/mm]
>  
> ||k'(t)|| = [mm]\wurzel[1]{x'(t)^2 + y'(t)^2}[/mm]
>              
> =  [mm]\wurzel[1]{-r^2*sin^2(t) + r^2 * cos^2(t)}[/mm]
>  
> =  [mm]\wurzel[1]{r^2*(sin^2(t) + cos^2(t)}[/mm]
>  
> = [mm]\wurzel[1]{r^2}[/mm] = r
>  
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*r dt}[/mm]

Genau das meinte ich! Das geht doch viel zu schnell. Kein Wunder, wenn du auf falsche Ergebnisse kommst. Man schreibt zunächst hin, was man berechnen soll. Dann kommt, wie man es berechnet, dann wird eingesetzt.

Dein Integrand ist (x-2)y !!!

>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*2sin(t)-4sin(t)*2 dt}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*(-2*sin(t))*2 dt}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{-8cos(t)*sin(t) dt}[/mm]
>  
> = [ -8*-1/4*cos(2t)] nun die Grenzen Einetzen
>  
> = [ [mm]2*cos(2\pi)][/mm] - [ 2*cos(0)]  = 0  


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Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Mo 24.03.2014
Autor: Phencyclidine

Ach verdammt. Dachte die ganze Zeit man muss die Klammer auflösen da es ja y*(x-2) ist.



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Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:13 Di 25.03.2014
Autor: Phencyclidine

So nun versuche ichs mal mit dem richtigen Integral.

[mm] \integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r*sin(t)*r dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r^2*sin(t) dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{\pi}{ r^3*cos(t)*sin(t)-2r^2*sin(t) dt } [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{ 8*cos(t)*sin(t)-16sin(t) dt } [/mm]

= [ -2*cos(2t) + 16*cos(t) ] Nun mit Grenzen eingesetzt

= [ [mm] -2*cos(2\pi) [/mm] + [mm] 16*cos(\pi) [/mm] ] - [ -2*cos(0) + 16*cos(0) ] = -32

Wollte mich auch bei dir Bedanken das du mir versuchst zu helfen .



Bezug
                                                        
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Di 25.03.2014
Autor: Phencyclidine

Ich hoffe ich liege nicht völlig daneben und habe dich zum Kopfschütteln gebracht! Ich habe halt momentan ein paar Probleme in Mathe gebe aber mein bestes!

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Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Di 25.03.2014
Autor: Richie1401

Hi,

zunächst: Wenn du noch etwas kontrolliert haben möchtest, oder noch Fragen hast, dann stelle diese auch am besten als Frage. Sonst passiert es, dass die Frage untergeht ;-)

> So nun versuche ichs mal mit dem richtigen Integral.
>  
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r*sin(t)*r dt}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r^2*sin(t) dt}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{ r^3*cos(t)*sin(t)-2r^2*sin(t) dt }[/mm]
>  
> =  [mm]\integral_{0}^{\pi}{ 8*cos(t)*sin(t)-16sin(t) dt }[/mm]

hier macht du noch einen Fehler: Bei der 16. Es ist ja [mm] 2*2^2=8. [/mm]

Somit ist der Wert des Integrals [mm] \int...=-16. [/mm]


Dass du hier Hilfe bekommst ist doch ganz klar. Und wenn du wirklich auch den Willen hast es zu verstehen, umso besser.

Ein paar Tipps habe ich dir ja schon gegeben. Schreibe ruhig immer erst einmal alles hin, was du weißt und was du brauchst. Dann setze in aller Ruhe die Werte ein.
Damit ersparst du dir womöglich auch mehrmalige Rechnungen, weil du dich sonst tausendmal verrechnet hast. Außerdem ist es für den Kontrolleur viel besser, wenn er eine Struktur erkennt. Das ist ja wichtig in der Mathematik.

Viele Grüße

>  
> = [ -2*cos(2t) + 16*cos(t) ] Nun mit Grenzen eingesetzt
>  
> = [ [mm]-2*cos(2\pi)[/mm] + [mm]16*cos(\pi)[/mm] ] - [ -2*cos(0) + 16*cos(0)
> ] = -32
>  
> Wollte mich auch bei dir Bedanken das du mir versuchst zu
> helfen .
>  
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Di 25.03.2014
Autor: Phencyclidine

Ich danke dir für alles. Habe es ja jetzt und werde auch  Mathe noch viel lernen um mich selber zu verbessern.

Ich wünsche dir einen Schönen Tag finde das Klasse das du anderen Leuten hilfst.

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