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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Di 15.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $\beta:[0,2] \to\IC$ [/mm] mit [mm] $\beta(t):=\begin{cases} 1+t(-i-1), & \mbox{für } t\in[0,1] \\ 1-t+i(t-2), & \mbox{für } t\in[1,2] \end{cases}$
[/mm]
Man berechne:
[mm] $\integral_{\beta}{\bruch{1}{z} dz}$ [/mm] |
Hallo,
irgendwie komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Ich fasse meine Übelegungen einmal zusammen, die lediglich auf den Definitionen des Kurvenintegrals basieren:
Seien:
[mm] $\beta_1:[0,1]\to\IC$ [/mm] mit [mm] $\beta_1(t):=1+t(-i-1)$
[/mm]
[mm] $\beta_2:[1,2]\to\IC$ [/mm] mit [mm] $\beta_2(t):=1-t+i(t-2)$
[/mm]
dann ist:
[mm] $\beta:=\beta_1\oplus\beta_2$
[/mm]
eine zusammengesetzte stückweise glatte Kurve, wobei [mm] $\beta_1$ [/mm] und [mm] $\beta_2$ [/mm] für sich glatt sind.
Zur Berechnung:
[mm] $\integral_{\beta}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2}\integral_{\beta_k}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\beta_1}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] + [mm] \integral_{\beta_2}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+t(-i-1)}*(-i-1) dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{1-t+i(t-2)}*(-1+i) dt} [/mm] =$ ?
Dort komme ich nun nicht mehr weiter. Bin verzweifelt im Selbststudium und danke jetzt schon einmal für eure Antworten.
Ciao Denny
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Über der unteren Halbebene, in der die Spur von [mm]\beta[/mm] liegt, besitzt [mm]f(z) = \frac{1}{z}[/mm] eine Stammfunktion, nämlich [mm]F(z) = \log{z}[/mm], wobei der Zweig des Logarithmus so zu wählen ist, daß [mm]- \pi \leq \arg{z} \leq 0[/mm] gilt. Für die Berechnung des Integrals kommt es nur auf Anfangs- und Endpunkt der Kurve an:
[mm]\int_{\beta}~\frac{\mathrm{d}z }{z} = \int_1^{-1}~\frac{\mathrm{d}z }{z} = \log{(-1)} - \log{1} = - \operatorname{i} \pi[/mm]
Wenn du das Integral ohne Verwendung dieser Zusammenhänge lösen willst, wird es komplizierter. Tip: Erweitere die Brüche mit dem konjugiert Komplexen, den ersten etwa mit [mm]1 + t \left( \operatorname{i} - 1 \right)[/mm]. Dann werden die Nenner reell und du kannst das Integral in Real- und Imaginärteil zerlegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Di 15.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Danke,
habs verstanden. Habe es auch einmal auf dem "komplizierten Weg" gelöst.
Ich danke nochmals für die Super-schnelle Antwort
Ciao
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