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| Aufgabe | Berechne Kurvenintegral [mm] \integral_{K}^{}{P dx + Q dy + R dz} [/mm] indem man eine Fkt. U(x,y,z) findet mit grad [mm] U=[P,Q,R]^T.
[/mm]
[mm] P=\bruch{xy}{z}, Q=\bruch{x^2}{2z}+(y-z)^2, [/mm] R= - [mm] (\bruch{x^2y}{2z^2}+(y-z)^2+e^{-z}) [/mm]
von A(-2;0;3) nach B(0;3;3) |
Hallo,
soweit so gut.
grad [mm] U=\vektor{U_x \\ U_y \\ U_z}=\vektor{P \\ Q \\ R}
[/mm]
fuer
- [mm] U_x=P=xy*\bruch{1}{z} \rightarrow U(x,y,z)=\bruch{x^2y}{2z}+C(y,z)
[/mm]
stimmt doch so und wie mache ich nun weiter, dass ich die Konstante C(y,z) bestimmen kann?
Danke Tim
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Für die Differentialform
[mm]\omega = P \, \mathrm{d}x \ + \ Q \, \mathrm{d}y \ + \ R \, \mathrm{d}z[/mm]
muß
[mm]\mathrm{d}\omega = \left( \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}} \right) \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \ + \ \left( \frac{\partial{R}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{z}} \right) \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}z \ + \ \left( \frac{\partial{R}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q}}{\partial{z}} \right) \, \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z \ = \ 0[/mm]
sein, damit ein solches [mm]U[/mm] existieren kann. Das ist aber hier nicht der Fall. Man berechnet
[mm]\mathrm{d}\omega = \frac{2xy}{z^2} \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}z \ + \ \left( 4(y-z) + \frac{x^2}{z^2} \right) \, \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z \ \neq \ 0[/mm]
Ein [mm]U[/mm] wie gefordert existiert daher nicht.
Ich vermute Fehler in deinen Angaben.
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Oh stimmt, ich habe es oben korrigiert.
Gilt
[mm]\mathrm{d}\omega = \left( \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}} \right) \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \ + \ \left( \frac{\partial{R}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{z}} \right) \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}z \ + \ \left( \frac{\partial{R}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q}}{\partial{z}} \right) \, \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z \ = \ 0[/mm]
das immer?
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[mm]\mathrm{d}\omega = 0[/mm] gilt natürlich nicht immer (siehe meinen ersten Beitrag). Aber es ist gerade das Kriterium dafür, daß es ein [mm]U[/mm] mit [mm]\omega = \mathrm{d}U[/mm] gibt, sofern das Gebiet, in dem [mm]\omega[/mm] definiert ist, "hinreichend schön" ist.
Jetzt würde ich dir empfehlen, [mm]Q[/mm] nach [mm]y[/mm] und [mm]R[/mm] nach [mm]z[/mm] zu integrieren. Dann mußt du die drei Formeln für [mm]U[/mm] "übereinanderschieben". Mit ein bißchen Probieren wird es schon klappen.
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