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| Aufgabe | [mm] \gamma:=\vec{r(t)}=\vektor{r*cost \\ r*sint}
[/mm]
[mm] 0\le [/mm] t [mm] \le 2*\pi
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{}{sin(y) dx}-\integral_{\gamma}^{}{cos(x) dy}
[/mm]
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Hallo,
quäle mich ein bisschen mit diesem Integral rum. Folgende Berechnungen habe ich durchgeführt:
x=r*cost
y=r*sint
[mm] \bruch{dx}{dt}=-r*sint
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dt}=r*cost
[/mm]
dx=-r*sint*dt
dy=r*cost*dt
Nun habe ich versucht, meine Ergebnisse ins Kurvenintegral einzusetzen und erhalte folgendes:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{sin(y) dx}-\integral_{\gamma}^{}{cos(x) dy}=-r*\integral_{0}^{2\pi}{sin(r*sint)*sin(t) dt} [/mm] - [mm] r*\integral_{0}^{2\pi}{cos(r*cost)*cos(t) dt}
[/mm]
Kann dieses Integral stimmen???
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Integral stimmt, du schreibst es besser als ein Integral und verwendest die Additionstheoreme .
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 07.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Hehe *teuflischdreinschau*
Da bin ich mal gespannt, ob ich das hinbekomme. Additionstheoreme also ...
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Okay, mit Additionstheoremen komm ich ja zurecht, aber hier?
Integral zusammengefasst: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{( sin(t)*sin(r*sint)+cos(t)*cos(r*cos(t))) dt}
[/mm]
Ich würde in diesem Fall [mm] cos(x_{1}-x_{2})=cosx_{1}*cosx_{2}+sinx_{1}*sinx_{2} [/mm] anwenden, doch in meinem Fall hab ich keine Übereinstimmung bei [mm] x_{2}, [/mm] denn das eine Mal ist [mm] x_{2}=r*sint, [/mm] das andre Mal [mm] x_{2}=r*cost. [/mm]
Wie soll ich da vorgehen?
Gibt es sonst noch irgendwelche Additionstheoreme???
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, das hatte ich übersehen, seh aber auch nicht direkt ne Lösung.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Mo 08.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich glaube, das Integral ist 0, aber ich kann es im Moment nicht auf einfache Weise zeigen.
Ein paar Ideen:
1. Der Integrand ist periodisch , daher lässt sich der zweite Summand durch Substitution [mm]\bar t=t+\pi/2[/mm] umformen (das entspricht einer anderen Parametrisierung der geschlossenen Kurve [mm]\gamma[/mm]). Dann kannst du das Additionstheorem anwenden.
2. Es gibt eine ![[]](/images/popup.gif) Reihenentwicklung (9.1.43,9.1.44) für [mm]\sin(r\sin t) [/mm] und [mm]\cos(r\cos t)[/mm]. Wenn man die einsetzt und mit der Integration vertauscht, wird jeder Summand 0.
3. Du könntest das Kurvenintegral mit dem Satz von Stokes in eine Integral über die von [mm]\gamma[/mm] eingeschlossene Fläche schreiben. Ich sehe aber nicht, dass es dadurch einfacher wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 09.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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